微分方程式の問題

方針：$y$ を消去して $x$ だけの 2 階線形微分方程式にする。

第 1 式から
$$5y=x-x^{\prime }(1)$$
である。第 1 式の両辺を $t$ で微分し、第 2 式を代入すると
$$x^{\prime \prime }=x^{\prime }-5y^{\prime }=x^{\prime }-5(x-3y)=x^{\prime }-5x+15y.$$
$(1)$ より $15y=3(x-x^{\prime })=3x-3x^{\prime }$ なので
$$x^{\prime \prime }=x^{\prime }-5x+3x-3x^{\prime }=-2x^{\prime }-2x.$$
したがって
$$x^{\prime \prime }+2x^{\prime }+2x=0.$$

特性方程式は ${\lambda }^2+2\lambda +2=0$ で、$\lambda =-1\pm i$ である（これは係数行列 $\left(\begin{array}{cc}1& -5\\ 1& -3\end{array}\right)$ の固有値でもある。実際、トレース $-2$、行列式 $-3+5=2$ より固有方程式は ${\lambda }^2+2\lambda +2=0$）。よって一般解は
$$x(t)=e^{-t}(A\cos t+B\sin t)(A,B\text{ は定数}).$$

初期条件を求める。$x(0)=1$ より $A=1$。また第 1 式で $t=0$ とすると
$$x^{\prime }(0)=x(0)-5y(0)=1-0=1.$$
一方
$$x^{\prime }(t)=e^{-t}\{(-A+B)\cos t+(-A-B)\sin t\}$$
より $x^{\prime }(0)=-A+B$。よって $-1+B=1$、$B=2$。

したがって
$$x(t)=e^{-t}(\cos t+2\sin t).$$

確認： $x^{\prime }(t)=e^{-t}(\cos t-3\sin t)$ なので $(1)$ より $y=\frac{x-x^{\prime }}{5}=\frac{e^{-t}\cdot 5\sin t}{5}=e^{-t}\sin t$。このとき $y(0)=0$ を満たし、$y^{\prime }=e^{-t}(\cos t-\sin t)$、$x-3y=e^{-t}(\cos t+2\sin t-3\sin t)=e^{-t}(\cos t-\sin t)$ となり第 2 式も満たす。

答え：$x(t)=e^{-t}(\cos t+2\sin t)$

係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}1& -5\\ 1& -3\end{array}\right)$ で、$\mathrm{tr}A=-2$、$\det A=2$ である。

第1式を微分して $x^{\prime \prime }=x^{\prime }-5y^{\prime }=x^{\prime }-5(x-3y)=x^{\prime }-5x+15y$ とする。第1式から $y=(x-x^{\prime })/5$ なので、$15y=3x-3x^{\prime }$ となる。よって
$x^{\prime \prime }=x^{\prime }-5x+3x-3x^{\prime }=-2x^{\prime }-2x$、すなわち $x^{\prime \prime }+2x^{\prime }+2x=0$ を得る。

特性方程式 ${\lambda }^2+2\lambda +2=0$ の解は $\lambda =-1\pm i$ だから、$x=e^{-t}(a\cos t+b\sin t)$ とおける。

初期条件より $x(0)=a=1$。また $x^{\prime }(0)=x(0)-5y(0)=1$ である。$x^{\prime }=e^{-t}\{(-a+b)\cos t+(-a-b)\sin t\}$ より $x^{\prime }(0)=-a+b=1$ なので、$b=2$。

したがって $x(t)=e^{-t}(\cos t+2\sin t)$。

検算：$x^{\prime }=e^{-t}(\cos t-3\sin t)$ なので、$y=(x-x^{\prime })/5=e^{-t}\sin t$。$y(0)=0$ を満たす。さらに $y^{\prime }=e^{-t}(\cos t-\sin t)$ で、$x-3y=e^{-t}(\cos t+2\sin t-3\sin t)=e^{-t}(\cos t-\sin t)$ となり第2式も成り立つ。また $x-5y=e^{-t}(\cos t-3\sin t)=x^{\prime }$ で第1式も成り立つ。