微分方程式の問題

方針：$y$ を消去して $x$ だけの 2 階の方程式に直す。

第 1 式から
$$y=x^{\prime }-3x(1)$$
です。これを $t$ で微分すると $y^{\prime }=x^{\prime \prime }-3x^{\prime }$ となります。これを第 2 式 $y^{\prime }=-2x+t$ に代入すると
$$x^{\prime \prime }-3x^{\prime }=-2x+t\text{すなわち}{x}^{\prime \prime }-3x^{\prime }+2x=t(2)$$
となり、$x$ についての定数係数 2 階線形（非斉次）微分方程式が得られます。

斉次方程式の一般解： 特性方程式 ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$ は $(\lambda -1)(\lambda -2)=0$ より $\lambda =1,2$ です。よって斉次方程式の一般解は $C_1{e}^t+C_2{e}^{2t}$（$C_1,C_2$ は定数）です。

特殊解（未定係数法）： 右辺が $t$ なので $x_p=At+B$ とおきます。$x_p^{\prime }=A$, $x_p^{\prime \prime }=0$ を $(2)$ に代入すると
$$-3A+2(At+B)=t⟹2At+(2B-3A)=t$$
係数を比べて $2A=1$, $2B-3A=0$ より $A=\frac{1}{2}$, $B=\frac{3}{4}$ です。

したがって $(2)$ の一般解は
$$x(t)=C_1{e}^t+C_2{e}^{2t}+\frac{t}{2}+\frac{3}{4}$$

初期条件： $x(0)=0$ より $C_1+C_2+\frac{3}{4}=0$。
また第 1 式から $x^{\prime }(0)=3x(0)+y(0)=0$ です。$x^{\prime }(t)=C_1{e}^t+2C_2{e}^{2t}+\frac{1}{2}$ なので $C_1+2C_2+\frac{1}{2}=0$。

2 式を引くと $C_2=\frac{1}{4}$、よって $C_1=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$ です。

$$x(t)=-e^t+\frac{1}{4}{e}^{2t}+\frac{t}{2}+\frac{3}{4}$$

（確認：$(1)$ より $y=x^{\prime }-3x=2e^t-\frac{1}{4}{e}^{2t}-\frac{3}{2}t-\frac{7}{4}$ で、$y(0)=2-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}=0$。さらに $y^{\prime }=2e^t-\frac{1}{2}{e}^{2t}-\frac{3}{2}$ と $-2x+t=2e^t-\frac{1}{2}{e}^{2t}-t-\frac{3}{2}+t$ は一致し、第 2 式も満たします。）

第1式を微分して $x^{\prime \prime }=3x^{\prime }+y^{\prime }=3x^{\prime }-2x+t$ を得る。よって $x^{\prime \prime }-3x^{\prime }+2x=t$。
同次方程式の特性方程式 ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$ の解は $\lambda =1,2$。
特殊解を $x=at+b$ とおくと $2at+2b-3a=t$ より $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{4}$。
よって一般解は $x=C_1{e}^t+C_2{e}^{2t}+\frac{t}{2}+\frac{3}{4}$。
初期条件は $x(0)=0$ と、第1式から $x^{\prime }(0)=3x(0)+y(0)=0$。
$C_1+C_2+\frac{3}{4}=0$、$C_1+2C_2+\frac{1}{2}=0$ を解いて $C_2=\frac{1}{4},C_1=-1$。
検算：$x=-e^t+\frac{1}{4}{e}^{2t}+\frac{t}{2}+\frac{3}{4}$ を $x^{\prime \prime }-3x^{\prime }+2x$ に代入すると $e^t$、$e^{2t}$、定数の項が消えて $t$ が残る。また $x(0)=-1+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0$、$x^{\prime }(0)=-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ で、初期条件も満たす。