微分方程式の問題

$X(s)=\mathcal{L}[x(t)]$, $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ とおく。$\mathcal{L}[x^{\prime }]=sX-x(0)=sX-1$, $\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)=sY$, $\mathcal{L}[e^{-t}]=\frac{1}{s+1}$ より、両辺をラプラス変換すると
$$(s-3)X+2Y=1,-2X+(s+2)Y=\frac{3}{s+1}$$
となる。係数行列の行列式は
$$D(s)=(s-3)(s+2)+4=s^2-s-2=(s-2)(s+1)$$
である。クラメルの公式より
$$X=\frac{(s+2)-\frac{6}{s+1}}{(s-2)(s+1)}=\frac{s^2+3s-4}{(s-2)(s+1{)}^2}=\frac{(s+4)(s-1)}{(s-2)(s+1{)}^2},$$
$$Y=\frac{\frac{3(s-3)}{s+1}+2}{(s-2)(s+1)}=\frac{5s-7}{(s-2)(s+1{)}^2}.$$
よって
$$X-2Y=\frac{s^2+3s-4-10s+14}{(s-2)(s+1{)}^2}=\frac{s^2-7s+10}{(s-2)(s+1{)}^2}=\frac{(s-2)(s-5)}{(s-2)(s+1{)}^2}=\frac{s-5}{(s+1{)}^2}.$$
これを部分分数に分けると
$$\frac{s-5}{(s+1{)}^2}=\frac{(s+1)-6}{(s+1{)}^2}=\frac{1}{s+1}-\frac{6}{(s+1{)}^2}.$$
${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]=e^{-t}$, ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{(s+1{)}^2}\right]=t{e}^{-t}$ より
$$x(t)-2y(t)=e^{-t}-6t{e}^{-t}=(1-6t)e^{-t}.$$
（参考: 個別には $x(t)=\frac{2}{3}{e}^{2t}+\frac{1}{3}{e}^{-t}+2t{e}^{-t}$, $y(t)=\frac{1}{3}{e}^{2t}-\frac{1}{3}{e}^{-t}+4t{e}^{-t}$ であり、これらが方程式と初期条件を満たすことも確かめられる。$e^{2t}$ の項は $x-2y$ では打ち消し合う。）

$X=\mathcal{L}[x]$, $Y=\mathcal{L}[y]$ とする。$sX-1=3X-2Y$、$sY=2X-2Y+\frac{3}{s+1}$。整理して $(s-3)X+2Y=1$、$-2X+(s+2)Y=\frac{3}{s+1}$。行列式 $(s-3)(s+2)+4=s^2-s-2=(s-2)(s+1)$。クラメルの公式より $X=\frac{(s+2)-\frac{6}{s+1}}{(s-2)(s+1)}=\frac{s^2+3s-4}{(s+1{)}^2(s-2)}$、$Y=\frac{\frac{3(s-3)}{s+1}+2}{(s-2)(s+1)}=\frac{5s-7}{(s+1{)}^2(s-2)}$。$X-2Y=\frac{s^2-7s+10}{(s+1{)}^2(s-2)}=\frac{(s-2)(s-5)}{(s+1{)}^2(s-2)}=\frac{s-5}{(s+1{)}^2}=\frac{1}{s+1}-\frac{6}{(s+1{)}^2}$。逆変換して $x-2y=(1-6t)e^{-t}$。検算: $z=x-2y$ とすると $z^{\prime }=x^{\prime }-2y^{\prime }=3x-2y-4x+4y-6e^{-t}=-z-6e^{-t}$、$z(0)=1$。$z=(1-6t)e^{-t}$ は $z^{\prime }=(6t-7)e^{-t}$、$-z-6e^{-t}=(6t-7)e^{-t}$ で一致し、$z(0)=1$。