微分方程式の問題

ベクトル $\mathbf{X}(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$ とおくと、方程式は $${\mathbf{X}}^{\prime }=A\mathbf{X}+\mathbf{F}(t),A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right),\mathbf{F}(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ e^{2t}\end{array}\right)$$ と書ける。

固有値: $\det (A-\lambda E)=(1-\lambda )(3-\lambda )+1={\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$ より、固有値は $2$（重解）。$N=A-2E=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ は $N\ne O$ で、ケーリー・ハミルトンの定理より $N^2=O$。よって $A$ は対角化できない。

行列の指数関数: $2E$ と $N$ は可換なので $$e^{tA}=e^{2t}{e}^{tN}=e^{2t}(E+tN)=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1-t& t\\ -t& 1+t\end{array}\right).$$

定数変化法の公式: $$\mathbf{X}(t)=e^{tA}\mathbf{X}(0)+{\int }_0^t{e}^{(t-s)A}\mathbf{F}(s)ds.$$

第 1 項: $\mathbf{X}(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ より $e^{tA}\mathbf{X}(0)=e^{2t}\left(\begin{array}{c}1-t\\ -t\end{array}\right)$。

第 2 項: $u=t-s$ とおくと $$e^{(t-s)A}\mathbf{F}(s)=e^{2u}\left(\begin{array}{c}u\\ 1+u\end{array}\right)e^{2s}=e^{2t}\left(\begin{array}{c}t-s\\ 1+t-s\end{array}\right)$$ なので $${\int }_0^t{e}^{(t-s)A}\mathbf{F}(s)ds=e^{2t}\left(\begin{array}{c}{\int }_0^t(t-s)ds\\ {\int }_0^t(1+t-s)ds\end{array}\right)=e^{2t}\left(\begin{array}{c}\frac{t^2}{2}\\ t+\frac{t^2}{2}\end{array}\right).$$

よって $$x(t)=e^{2t}\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)=\frac{1}{2}(t^2-2t+2)e^{2t},y(t)=\frac{t^2}{2}{e}^{2t}.$$

検算: $x^{\prime }=e^{2t}(2(1-t+\frac{t^2}{2})+(-1+t))=e^{2t}(1-t+t^2)$、$x+y=e^{2t}(1-t+t^2)$ で一致。$y^{\prime }=e^{2t}(t^2+t)$、$-x+3y+e^{2t}=e^{2t}(-1+t-\frac{t^2}{2}+\frac{3t^2}{2}+1)=e^{2t}(t+t^2)$ で一致。初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ もみたす。

$y=x^{\prime }-x$ を第 2 式に代入する。$x^{\prime \prime }=x^{\prime }+y^{\prime }=x^{\prime }+(-x+3y+e^{2t})=x^{\prime }-x+3(x^{\prime }-x)+e^{2t}$ より $x^{\prime \prime }-4x^{\prime }+4x=e^{2t}$。
特性方程式 $(\lambda -2{)}^2=0$。同次解 $(c_1+c_{2}t)e^{2t}$。特殊解を $\frac{t^2}{2}{e}^{2t}$ とおくと、$(D-2{)}^2\left(\frac{t^2}{2}{e}^{2t}\right)=e^{2t}$ で確かに解。よって $x=(c_1+c_{2}t+\frac{t^2}{2})e^{2t}$。
初期条件: $x(0)=1$ より $c_1=1$。$x^{\prime }(0)=x(0)+y(0)=1$。$x^{\prime }=e^{2t}[2c_1+2c_{2}t+t^2+c_2+t]$ なので $x^{\prime }(0)=2c_1+c_2=1$、$c_2=-1$。
$x(t)=\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)e^{2t}$。
検算: $y=x^{\prime }-x$ より $x^{\prime }=e^{2t}(2-2t+t^2-1+t)=e^{2t}(1-t+t^2)$、$y=e^{2t}(1-t+t^2-1+t-\frac{t^2}{2})=\frac{t^2}{2}{e}^{2t}$、$y(0)=0$ ✓。$y^{\prime }=(t+t^2)e^{2t}$、右辺 $-x+3y+e^{2t}=e^{2t}(-1+t-\frac{t^2}{2}+\frac{3t^2}{2}+1)=e^{2t}(t+t^2)$ ✓。