変分法・最適制御の問題

準備. $x(t)=\exp \left(2{\int }_0^{t}u(s)ds\right)>0$ なので、状態は常に正である。

最大原理. 終端が自由なので正規の場合（乗数 $p_0=1$）を考えてよい。ハミルトニアンは
$$H(x,u,p)=(1-u)x+p\cdot 2ux=x+ux(2p-1)$$
である。随伴方程式と横断条件は
$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-(1-u)-2pu,p(3)=0.$$
$H$ を $u\in [0,1]$ について最大化すると、$x>0$ より
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (p(t)>\frac{1}{2})\\ 0& (p(t)<\frac{1}{2})\end{array}$$
となる。

随伴変数の決定. $p\ge 0$ である限り $\dot{p}=-(1-u)-2pu<0$ なので、$p$ は狭義単調減少である。

• 終端付近では $p(3)=0<\frac{1}{2}$ なので $u=0$ である。このとき $\dot{p}=-1$ より $p(t)=3-t$ となる。$p=\frac{1}{2}$ となるのは $t=\frac{5}{2}$ のときである。
• $t<\frac{5}{2}$ では、$p$ が単調減少であることから $p>\frac{1}{2}$、したがって $u=1$ である。このとき $\dot{p}=-2p$、$p(\frac{5}{2})=\frac{1}{2}$ より $p(t)=\frac{1}{2}{e}^{5-2t}>\frac{1}{2}$ となり、矛盾しない。

よって候補となる制御は
$$u^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le t<\frac{5}{2})\\ 0& (\frac{5}{2}\le t\le 3)\end{array}$$
である。

十分性. 最大化されたハミルトニアンは $H^{\ast }(x,p)={\max }_{0\le u\le 1}H=x\max (1,2p)$ で、$x$ について線形（したがって凹）である。アローの十分条件により、上の候補は最適である。

値の計算. $0\le t\le \frac{5}{2}$ では $\dot{x}=2x$ より $x(t)=e^{2t}$ で、$x(\frac{5}{2})=e^5$ となる。$\frac{5}{2}\le t\le 3$ では $\dot{x}=0$ より $x(t)=e^5$ である。$u^{\ast }=1$ の区間では被積分関数が $0$ なので、
$$J[u^{\ast }]={\int }_{5/2}^3{e}^{5}dt=\frac{1}{2}{e}^5.$$

確認. 切替時刻を $s$ とする制御で $J=e^{2s}(3-s)$ となる。これを $s$ で微分すると $e^{2s}(5-2s)$ で、$s=\frac{5}{2}$ で最大になり、結果と一致する。

以上より、最大値は $\frac{e^5}{2}$ である。

ポントリャーギンの最大原理を用いる。ハミルトニアンは $H=(1-u)x+2\lambda ux=x+ux(2\lambda -1)$ である。随伴方程式は $\dot{\lambda }=-\partial H/\partial x=-(1-u)-2u\lambda$ で、終端が自由なので $\lambda (3)=0$ である。$x>0$ なので、$2\lambda -1>0$ のとき $u=1$、$2\lambda -1<0$ のとき $u=0$ となる。

終端付近では $\lambda (3)=0$ より $u=0$ である。このとき $\dot{\lambda }=-1$ なので $\lambda =3-t$ となる。$\lambda =1/2$ となるのは $t=5/2$ のときである。

$t<5/2$ では $u=1$ とすると $\dot{\lambda }=-2\lambda$ で、$\lambda (5/2)=1/2$ から $\lambda =\frac{1}{2}{e}^{2(5/2-t)}>1/2$ となる。よって $u=1$ は条件と整合する。

したがって最適制御は、$0\le t<5/2$ で $u=1$、$5/2<t\le 3$ で $u=0$ のバンバン制御である。

確認として、$[0,s]$ で $u=1$、その後 $u=0$ とする。このとき $x=e^{2t}$（$t\le s$）、その後は $x=e^{2s}$ で一定なので、$J=(3-s)e^{2s}$ である。$J^{\prime }(s)=e^{2s}(5-2s)$ より、$s=5/2$ で最大となる。

最大値は $J=\frac{1}{2}{e}^5$ である（約 74.2）。比較として $s=0$ なら $J=3$、$s=3$ なら $J=0$ である。