変分法・最適制御の問題

ステップ 1: ハミルトニアンと随伴方程式

ハミルトニアンは
$$H(x,u,p)=\frac{1}{2}{u}^2-x+pu$$
である。随伴方程式は $\dot{p}=-H_x=1$、終端の項がなく $x(3)$ は自由なので横断条件は $p(3)=0$ である。よって
$$p(t)=t-3(0\le t\le 3)$$
となり、$p(t)\le 0$ である。

ステップ 2: 各時刻で $H$ を $u\in [0,1]$ について最小化する

$H$ のうち $u$ を含む部分は
$$\frac{1}{2}{u}^2+(t-3)u=\frac{1}{2}(u-(3-t){)}^2-\frac{1}{2}(3-t{)}^2$$
で、制約がなければ頂点 $u=3-t$ で最小になる。$0\le u\le 1$ の制約があるので、頂点を区間 $[0,1]$ に切り詰める。$0\le t\le 3$ では $3-t\ge 0$ なので
$$u^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le t\le 2)\\ 3-t& (2\le t\le 3)\end{array}$$
となる。切り替え時刻は $3-t=1$ となる $t=2$ である。

ステップ 3: 状態を求める

$0\le t\le 2$ では $\dot{x}=1$, $x(0)=0$ より $x(t)=t$、特に $x(2)=2$。
$2\le t\le 3$ では $\dot{x}=3-t$ より
$$x(t)=2+{\int }_2^t(3-s)ds=3t-\frac{t^2}{2}-2.$$

ステップ 4: 評価関数の値

$${\int }_0^3\frac{1}{2}{u}^{\ast 2}dt={\int }_0^2\frac{1}{2}dt+{\int }_2^3\frac{1}{2}(3-t{)}^{2}dt=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{7}{6}.$$
$${\int }_0^{3}xdt={\int }_0^{2}tdt+{\int }_2^3\left(3t-\frac{t^2}{2}-2\right)dt=2+{\left[\frac{3t^2}{2}-\frac{t^3}{6}-2t\right]}_2^3=2+\left(3-\frac{2}{3}\right)=\frac{13}{3}.$$
よって
$$J[u^{\ast }]=\frac{7}{6}-\frac{13}{3}=-\frac{19}{6}.$$

確認（最小であること）: 部分積分により ${\int }_0^{3}xdt=[(t-3)x{]}_0^3+{\int }_0^3(3-t)\dot{x}dt={\int }_0^3(3-t)udt$ なので
$$J[u]={\int }_0^3\left(\frac{1}{2}{u}^2-(3-t)u\right)dt$$
となる。被積分関数を各時刻で $u\in [0,1]$ について最小化したものが $u^{\ast }$ なので、$u^{\ast }$ は確かに $J$ を最小にする。

答えは $-\frac{19}{6}$ である。

$x(t)={\int }_0^{t}u(s)ds$ より ${\int }_0^{3}x(t)dt={\int }_0^3(3-s)u(s)ds$（積分の順序交換）。よって $J[u]={\int }_0^3\left(\frac{1}{2}u(s{)}^2-(3-s)u(s)\right)ds$ となり、被積分関数は各 $s$ で $u$ のみの関数。各 $s$ で $0\le u\le 1$ の範囲で $\frac{1}{2}{u}^2-(3-s)u$ を最小化する。制約なしの最小点は $u=3-s$。$0\le s\le 2$ では $3-s\ge 1$ なので $u=1$、$2\le s\le 3$ では $0\le 3-s\le 1$ なので $u=3-s$。（ポントリャーギンの最小原理でも、$\dot{p}=1$, $p(3)=0$ より $p=t-3$, $H=\frac{1}{2}{u}^2-x+pu$ を最小化して同じ $u^{\ast }=\min (1,3-t)$。）値の計算: $0\le s\le 2$ で ${\int }_0^2\left(\frac{1}{2}-(3-s)\right)ds={\int }_0^2\left(s-\frac{5}{2}\right)ds=2-5=-3$。$2\le s\le 3$ で ${\int }_2^3\left(-\frac{1}{2}(3-s{)}^2\right)ds=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$。合計 $-3-\frac{1}{6}=-\frac{19}{6}$。検算: $u^{\ast }$ では $x=t$ ($0\le t\le 2$), $x=2+{\int }_2^t(3-s)ds=2+\frac{1-(3-t{)}^2}{2}$ ($2\le t\le 3$)。${\int }_0^{3}xdt=2+{\int }_2^3\left(\frac{5}{2}-\frac{(3-t{)}^2}{2}\right)dt=2+\frac{5}{2}-\frac{1}{6}=\frac{13}{3}$（${\int }_0^{2}tdt=2$ と合わせて $2+\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{6}\right)=\frac{14}{3}$ ではなく、$2+\frac{7}{3}=\frac{13}{3}$ と整理する）。${\int }_0^3\frac{1}{2}{u}^{2}dt=\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{7}{6}$。$J=\frac{7}{6}-\frac{13}{3}=-\frac{19}{6}$ で一致。