変分法・最適制御の問題

最大原理で与えられる ${\lambda }_0\ge 0$ と $p=(p_1,p_2)$ をとる。また $x^{\ast }(0)=a\ne (0,0)=x^{\ast }(T^{\ast })$ なので $T^{\ast }>0$ である。

ステップ 1: 随伴方程式を解く. $H=p_1{x}_2+p_2(-2x_1-2x_2+v)-{\lambda }_0$ より $\frac{\partial H}{\partial x_1}=-2p_2$, $\frac{\partial H}{\partial x_2}=p_1-2p_2$。よってほとんどすべての $t$ で
$${\dot{p}}_1=2p_2,{\dot{p}}_2=-p_1+2p_2.(1)$$
$p_1,p_2$ は絶対連続なので $p_1(t)=p_1(0)+{\int }_0^{t}2p_{2}ds$, $p_2(t)=p_2(0)+{\int }_0^t(-p_1+2p_2)ds$ と書け、被積分関数は連続だから $p_1,p_2$ は $C^1$ 級で $(1)$ がすべての $t$ で成り立つ。すると $(1)$ の右辺が $C^1$ 級なので $p_1,p_2$ は $C^2$ 級であり、$(1)$ の第 2 式を微分して第 1 式を代入すると
$${\ddot{p}}_2=-{\dot{p}}_1+2{\dot{p}}_2=-2p_2+2{\dot{p}}_2,\text{すなわち}{\ddot{p}}_2-2{\dot{p}}_2+2p_2=0.$$
用いてよい事実により、定数 $\alpha ,\beta$ を用いて
$$p_2(t)=e^t(\alpha \cos t+\beta \sin t)$$
と書ける。また $(1)$ の第 2 式より $p_1=2p_2-{\dot{p}}_2$ である。

ステップ 2: $p_2\not\equiv 0$. 背理法で示す。$(\alpha ,\beta )=(0,0)$ と仮定すると $p_2\equiv 0$ で、$p_1=2p_2-{\dot{p}}_2\equiv 0$ となる。このときすべての $t$ で $H(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))=-{\lambda }_0$ であり、最大原理の第 3 条件からほとんどすべての $t$ で $-{\lambda }_0=0$、よって ${\lambda }_0=0$。すると $({\lambda }_0,p_1(t),p_2(t))=(0,0,0)$ となり第 1 条件に反する。したがって $(\alpha ,\beta )\ne (0,0)$。$R=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}>0$ とし、$\cos \psi =\beta /R$, $\sin \psi =\alpha /R$ となる実数 $\psi$ をとると、加法定理 $\sin (t+\psi )=\sin t\cos \psi +\cos t\sin \psi$ より
$$p_2(t)=R{e}^t\sin (t+\psi ).(2)$$

ステップ 3: $p_2$ の零点と符号. $(2)$ で $R{e}^t>0$ だから、$p_2(t)$ の符号は $\sin (t+\psi )$ の符号と一致する。したがって $p_2$ の零点は $t=m\pi -\psi$ $(m\in \mathbb{Z})$ で、隣り合う零点の間隔はちょうど $\pi$ である。また $\sin s$ は $(m\pi ,(m+1)\pi )$ で符号 $(-1{)}^m$ をとるので、隣り合う零点の間の開区間では $p_2$ は一定の符号をもち、零点を 1 つ越えるごとに符号が反転する。零点は間隔 $\pi$ で並ぶので、有界な開区間 $(0,T^{\ast })$ に含まれる零点は有限個である。それを ${\tau }_1<\cdots <{\tau }_k$ $(k\ge 0)$ とし（端点 $0$, $T^{\ast }$ が零点であっても ${\tau }_1,\dots ,{\tau }_k$ には含めない）、${\tau }_0=0$, ${\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ とおく。各開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ は零点を含まないので $p_2$ はそこで符号一定であり、$1\le i\le k$ では $({\tau }_{i-1},{\tau }_i)$ から $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ へ零点 ${\tau }_i$ をちょうど 1 つ越えるので符号が反転する。そこで $({\tau }_0,{\tau }_1)$ での $p_2$ の符号を $\sigma \in \{1,-1\}$ とすると、$i$ に関する帰納法により $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ での符号は $(-1{)}^i\sigma$ である。

ステップ 4: 最大条件から $u^{\ast }$ を決める. $H$ のうち $v$ に依存する部分は $p_2(t)v$ だけである。$p_2(t)>0$ のとき、$0\le v\le 1$ で $p_2(t)v$ を最大にする $v$ は $v=1$ ただ 1 つ（$v<1$ なら $p_2(t)v<p_2(t)$）、$p_2(t)<0$ のとき最大にする $v$ は $v=0$ ただ 1 つ（$v>0$ なら $p_2(t)v<0$）である。$\mathrm{sgn}$ を符号関数とすると、いずれの場合も最大を与える $v$ は $\frac{1+\mathrm{sgn}{p}_2(t)}{2}$ と書ける。最大原理の第 3 条件から、ほとんどすべての $t$ で $u^{\ast }(t)$ は最大を与えるので、$p_2(t)\ne 0$ であるほとんどすべての $t$ で $u^{\ast }(t)=\frac{1+\mathrm{sgn}{p}_2(t)}{2}$。各開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ には零点がなく $\mathrm{sgn}{p}_2=(-1{)}^i\sigma$ なので、$({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで
$$u^{\ast }(t)=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}.$$
これは $i$ が 1 増えるごとに値 $1$ と $0$ が入れ替わることを意味する。

ステップ 5: 区間の長さ. $k\ge 2$ かつ $1\le i\le k-1$ のとき、${\tau }_i,{\tau }_{i+1}$ はともに $p_2$ の零点で、その間に零点はないから隣り合う零点であり、${\tau }_{i+1}-{\tau }_i=\pi$（$k\le 1$ のときこの主張は課されていない）。
次に、一般の $0\le i\le k$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$ を背理法で示す。${\tau }_{i+1}-{\tau }_i>\pi$ と仮定する。${\tau }_i$ 以下で最大の零点を $z$ とすると（零点は $m\pi -\psi$ $(m\in \mathbb{Z})$ の形で、間隔 $\pi$ で両方向に限りなく並ぶので存在する）$z\le {\tau }_i<z+\pi$ であり、$z+\pi$ も零点で、$z+\pi \in ({\tau }_i,{\tau }_i+\pi ]\subset ({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$。$({\tau }_i,{\tau }_{i+1})\subset (0,T^{\ast })$ なので $z+\pi$ は $(0,T^{\ast })$ 内の零点であるが、開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ に入るので ${\tau }_1,\dots ,{\tau }_k$ のどれとも異なり、${\tau }_1,\dots ,{\tau }_k$ が $(0,T^{\ast })$ 内の零点のすべてであることに反する。よって ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$。

結論. $\sigma \in \{1,-1\}$、整数 $k\ge 0$ と $0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_k<{\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ が存在して、各 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで $u^{\ast }=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}$（値 $1$ と $0$ を交互にとる）であり、すべての区間の長さは $\pi$ 以下、$1\le i\le k-1$ の区間の長さはちょうど $\pi$ である。$■$