変分法・最適制御の問題

第 1 変分と停留条件. $y(1)=0$ を保つ変分 $h$（$C^2$ 級, $h(1)=0$, $h(2)$ は任意）について
$$\delta J={\int }_1^2\left(2x^2{y}^{\prime }{h}^{\prime }+4yh\right)dx-6h(2).$$
第 1 項を部分積分すると
$$\delta J={\left[2x^2{y}^{\prime }h\right]}_1^2-{\int }_1^{2}2\left((x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }-2y\right)hdx-6h(2)=\left(8y^{\prime }(2)-6\right)h(2)-2{\int }_1^2\left((x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }-2y\right)hdx.$$
すべての $h$ で $\delta J=0$ となる条件は
- オイラー・ラグランジュ方程式: $(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }-2y=0$, すなわち $x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-2y=0$
- 自然境界条件: $8y^{\prime }(2)=6$, すなわち $y^{\prime }(2)=\frac{3}{4}$

停留曲線. オイラー・ラグランジュ方程式はオイラー型の方程式なので $y=x^r$ を代入すると $r(r-1)+2r-2=r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$。よって一般解は
$$y=ax+b{x}^{-2}.$$
$y(1)=0$ から $b=-a$, $y=a\left(x-x^{-2}\right)$, $y^{\prime }=a\left(1+2x^{-3}\right)$。
自然境界条件 $y^{\prime }(2)=a\cdot \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$ より $a=\frac{3}{5}$。したがって
$$y=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{x^2}\right),y(2)=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{4}=\frac{21}{20},y^{\prime }(2)=\frac{3}{4}.$$

最小性. 停留曲線 $y$ と任意の許容な $h$ について、$J$ は 2 次式なので
$$J[y+h]=J[y]+\delta J+{\int }_1^2\left(x^2{h}^{\prime 2}+2h^2\right)dx=J[y]+{\int }_1^2\left(x^2{h}^{\prime 2}+2h^2\right)dx\ge J[y].$$
よって停留曲線で最小値をとる。

最小値の計算. 部分積分とオイラー・ラグランジュ方程式 $(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }=2y$ により
$${\int }_1^2{x}^2{y}^{\prime 2}dx={\left[x^{2}y{y}^{\prime }\right]}_1^2-{\int }_1^2(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }ydx={\left[x^{2}y{y}^{\prime }\right]}_1^2-{\int }_1^{2}2y^{2}dx,$$
したがって
$${\int }_1^2\left(x^2{y}^{\prime 2}+2y^2\right)dx={\left[x^{2}y{y}^{\prime }\right]}_1^2=4\cdot \frac{21}{20}\cdot \frac{3}{4}-0=\frac{63}{20}.$$
よって
$$J[y]=\frac{63}{20}-6\cdot \frac{21}{20}=\frac{63-126}{20}=-\frac{63}{20}.$$

被積分関数 $F=x^2{y}^{\prime 2}+2y^2$ のオイラー・ラグランジュ方程式は $(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }=2y$、すなわち $x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-2y=0$（オイラー型）。$y=x^r$ とおくと $r^2+r-2=0$ より $r=1,-2$。よって $y=Ax+B{x}^{-2}$。$y(1)=0$ より $B=-A$、$y=A(x-x^{-2})$。

右端が自由なので自然境界条件を考える。変分 $\eta$（$\eta (1)=0$）に対し $\delta J={\int }_1^2(2x^2{y}^{\prime }{\eta }^{\prime }+4y\eta )dx-6\eta (2)=[2x^2{y}^{\prime }\eta {]}_1^2+\int (-2(x^2{y}^{\prime }{)}^{\prime }+4y)\eta dx-6\eta (2)$。E-L 方程式のもとで $8y^{\prime }(2)\eta (2)-6\eta (2)=0$ より $y^{\prime }(2)=\frac{3}{4}$。$y^{\prime }=A(1+2x^{-3})$ なので $y^{\prime }(2)=\frac{5}{4}A=\frac{3}{4}$、$A=\frac{3}{5}$。$y=\frac{3}{5}(x-x^{-2})$、$y(2)=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{4}=\frac{21}{20}$。

$J$ の値: 部分積分と E-L 方程式より ${\int }_1^2(x^2{y}^{\prime 2}+2y^2)dx=[x^{2}y{y}^{\prime }{]}_1^2=4y(2)y^{\prime }(2)=4\cdot \frac{21}{20}\cdot \frac{3}{4}=\frac{63}{20}$。$J=\frac{63}{20}-6\cdot \frac{21}{20}=-\frac{63}{20}$。

最小性: $J$ は $y$ について（2 次部分が正定値の）凸汎関数なので、停留点が最小を与える。実際、任意の許容 $y=y_0+\eta$（$\eta (1)=0$）に対し $J[y]=J[y_0]+\int (x^2{\eta }^{\prime 2}+2{\eta }^2)dx\ge J[y_0]$（1 次の項は自然境界条件により消える）。

検算: $y^{\prime }=\frac{3}{5}(1+2x^{-3})$ から ${\int }_1^2{x}^2{y}^{\prime 2}dx=\frac{9}{25}{\int }_1^2(x^2+4x^{-1}+4x^{-4})dx=\frac{9}{25}(\frac{7}{3}+4\ln 2+\frac{7}{6})$ …… 対数が残るので、この直接計算は $2y^2$ の項と合わせて打ち消される。数値的に確認すると、$\int 2y^{2}dx=\frac{18}{25}\int (x^2-2x^{-1}+x^{-4})dx=\frac{18}{25}(\frac{7}{3}-2\ln 2+\frac{7}{24})$ で、$\ln 2$ の項は $\frac{36}{25}\ln 2-\frac{36}{25}\ln 2=0$ となり相殺する。残りは $\frac{9}{25}\cdot \frac{7}{2}+\frac{18}{25}\cdot \frac{63}{24}=\frac{63}{50}+\frac{189}{100}=\frac{315}{100}=\frac{63}{20}$ で一致。