ラグランジュの未定乗数法

条件 $g (x, y) = 0$ のもとでの最大・最小を未定乗数法で求められる

前提

2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

説明

ラグランジュの未定乗数法を使うと、変数 $x, y$ が条件 $g (x, y) = 0$ を満たしながら動くときの関数 $f (x, y)$ の最大値・最小値を求められます。条件式を一方の文字について解いて代入する必要がありません。たとえば「円周上で一次式が最大になる点」や「周の長さが一定の長方形の面積の最大」のように、制約付きの最適化問題で使います。

なぜそうしてよいのか

点 $(x, y)$ は条件 $g (x, y) = 0$ が表す曲線の上だけを動きます。曲線上の点 $P$ で $f$ が最大（または最小）になったとします。 $P$ から曲線に沿ってわずかに $(d x, d y)$ だけ動くと、 $g$ の値は $0$ のまま変わらないので、全微分により $d g = g_{x} d x + g_{y} d y = 0$ です。また $P$ は曲線上で $f$ の極値をとる点なので、曲線に沿った 1 次の変化 $df = f_{x} d x + f_{y} d y$ も $0$ です（もし $0$ でなければ、向きを選んで $f$ をもっと大きくも小さくもできてしまいます）。

ここで $(g_{x}, g_{y}) \neq = (0, 0)$ なら、 $g_{x} d x + g_{y} d y = 0$ を満たす向き $(d x, d y)$ は 1 本の直線（曲線の接線の向き）に限られます。ベクトル $(g_{x}, g_{y})$ も $(f_{x}, f_{y})$ もこの接線の向きと内積が $0$ 、つまりどちらも接線に垂直です。平面で同じ直線に垂直な 2 つのベクトルは平行なので、ある実数 $λ$ を使って $(f_{x}, f_{y}) = λ (g_{x}, g_{y})$ と書けます。図で見ると「 $f$ の等高線と条件の曲線が $P$ で接している」ということです。

この $λ$ を未定乗数といいます。 $F (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y)$ とおくと、 $F_{x} = F_{y} = F_{λ} = 0$ はちょうど $f_{x} = λ g_{x}, f_{y} = λ g_{y}, g = 0$ になります。つまり、2 変数関数の停留点を求める前提の技能が、そのまま 3 変数の $F$ に使える形に直ったわけです。ただし、この式は最大・最小になるための必要条件にすぎません。そのため、得られた点は「候補」として扱います。また、 $(g_{x}, g_{y}) = (0, 0)$ となる曲線上の点ではこの議論が使えないので、その点は別に候補へ加えます。

手順

目的の関数 $f (x, y)$ と、条件を $g (x, y) = 0$ の形に整理した $g$ を確認し、 $F (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y)$ とおく。
連立方程式 $f_{x} = λ g_{x}, f_{y} = λ g_{y}, g (x, y) = 0$ を解いて候補点を求める。割り算をするときは、割る式が $0$ になる場合も別に調べる。
条件の曲線上で $g_{x} = g_{y} = 0$ となる点があれば、その点も候補に加える。
最大値・最小値が存在することを確かめる。たとえば条件の曲線が円や楕円のように有界で閉じていれば、連続関数はそこで最大値・最小値をとる。そのうえで候補点での $f$ の値を比べ、最大のものを最大値、最小のものを最小値とする。

例題

$x^{2} + y^{2} = 5$ のもとで、 $f (x, y) = x + 2 y$ の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1： $g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 5$ とし、 $F = x + 2 y - λ (x^{2} + y^{2} - 5)$ とおく。

手順 2： $f_{x} = 1, f_{y} = 2, g_{x} = 2 x, g_{y} = 2 y$ なので、解くべき連立方程式は $1 = 2 λ x, 2 = 2 λ y, x^{2} + y^{2} = 5$ である。第 1 式から $λ \neq = 0$ なので、 $x = \frac{1}{2 λ}, y = \frac{1}{λ}$ と表せる。これを第 3 式に代入すると $\frac{1}{4 λ ^{2}} + \frac{1}{λ ^{2}} = 5$ 、すなわち $\frac{5}{4 λ ^{2}} = 5$ となり、 $λ^{2} = \frac{1}{4}$ 、 $λ = \pm \frac{1}{2}$ を得る。 $λ = \frac{1}{2}$ のとき $(x, y) = (1, 2)$ 、 $λ = - \frac{1}{2}$ のとき $(x, y) = (- 1, - 2)$ である。

手順 3： $g_{x} = g_{y} = 0$ となるのは $(x, y) = (0, 0)$ だけだが、この点は $x^{2} + y^{2} = 5$ を満たさない。よって追加する候補はない。

手順 4：条件の曲線は半径 $5$ の円で、有界で閉じている。 $f$ は連続なので、この円の上で最大値と最小値をもち、それらは上の候補点のどれかでとる。 $f (1, 2) = 1 + 4 = 5$ 、 $f (- 1, - 2) = - 5$ である。したがって最大値は $5$ （点 $(1, 2)$ ）、最小値は $- 5$ （点 $(- 1, - 2)$ ）である。

答え: $(5, - 5)$

よくある誤り

連立方程式を割り算で解くときに、割る式が $0$ になる場合を落としてしまう誤り。たとえば $f = x y, g = x^{2} + y^{2} - 2$ で $y = 2 λ x, x = 2 λ y$ から両辺を $x$ で割ると、 $x = 0$ の場合が抜けます。正しくは $x = 0$ の場合を別に調べます（この例では $y = 0$ となり、 $g = 0$ を満たさないので除外されます）。
候補点が出ただけで、それが最大・最小だと決めつけてしまう誤り。たとえば $x y = 1$ のもとで $f = x + y$ を考えると、候補は $(1, 1)$ と $(- 1, - 1)$ で、 $f$ の値は $2$ と $- 2$ です。しかし $x \to + \infty$ で $f \to + \infty$ 、 $x \to - \infty$ で $f \to - \infty$ となるので、最大値も最小値も存在しません。正しくは、条件の曲線が有界で閉じているかなどを確かめ、最大値・最小値の存在を確認してから候補を比べます。
$(g_{x}, g_{y}) = (0, 0)$ となる曲線上の点を見落としてしまう誤り。たとえば $y^{2} - x^{3} = 0$ のもとで $f = x$ を考えると、連立方程式 $1 = - 3 λ x^{2}, 0 = 2 λ y, y^{2} = x^{3}$ は解をもちません。しかし実際には、曲線上では $x \geq 0$ なので、原点で最小値 $0$ をとります。正しくは、 $g = 0$ かつ $g_{x} = g_{y} = 0$ を満たす点（この例では $(0, 0)$ ）も候補に加えます。
$λ$ の値や候補点の座標を最大値・最小値と取り違えてしまう誤り。例題の $λ = \pm \frac{1}{2}$ は最大値ではありません。正しくは、候補点を $f$ に代入した値 $f (1, 2) = 5, f (- 1, - 2) = - 5$ を比べます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最小分散ポートフォリオ（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
積分制約つき変分問題（ラグランジュ乗数）（大学院数学変分法・最適制御）
ラグランジュ双対関数と弱双対性（大学院数学凸最適化・組合せ最適化）
KKT 条件（大学数学最適化・線形計画法）