微分積分の問題

条件を $g(x,y)=x^2+y^2-5=0$ とおく。

最大・最小が存在すること

条件を満たす点全体は、原点を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円である。これは有界な閉集合であり、$f$ は連続なので、$f$ はこの円上で最大値と最小値をとる。

未定乗数法が使えること

$g_x=2x,g_y=2y$ である。円上では $(x,y)\ne (0,0)$ なので、$(g_x,g_y)\ne (0,0)$ となる。したがって、最大・最小をとる点では、ある実数 $\lambda$ が存在して次が成り立つ。
$$f_x=\lambda g_x,f_y=\lambda g_y,g(x,y)=0$$

連立方程式を解く

$f_x=1,f_y=2$ なので、連立方程式は次のようになる。
$$1=2\lambda x(1),2=2\lambda y(2),x^2+y^2=5(3)$$
$(1)$ より $\lambda \ne 0$ かつ $x\ne 0$ である。$(2)÷(1)$ より $\frac{y}{x}=2$、すなわち $y=2x$ となる。

これを $(3)$ に代入すると、$x^2+4x^2=5$ より $x^2=1$、よって $x=\pm 1$ である。

したがって、候補の点は $(x,y)=(1,2),(-1,-2)$ の 2 つである。

候補の点での値を比べる

$$f(1,2)=1+4=5,f(-1,-2)=-1-4=-5$$
最大値・最小値はこれらの候補の点でとられるので、大きい方が最大値、小さい方が最小値である。

よって、最大値は $5$（$(x,y)=(1,2)$ のとき）、最小値は $-5$（$(x,y)=(-1,-2)$ のとき）。答えは $(5,-5)$ である。

円 $x^2+y^2=5$ 上での $f=x+2y$ の最大・最小を求める。コーシー・シュワルツの不等式より $(x+2y{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5\cdot 5=25$ なので $-5\le x+2y\le 5$。等号は $(x,y)=k(1,2)$ のとき成り立ち、$k^2\cdot 5=5$ より $k=\pm 1$。つまり $(1,2)$ で $f=5$、$(-1,-2)$ で $f=-5$。ラグランジュの未定乗数法でも $1=2\lambda x,2=2\lambda y$ から $y=2x$、$5x^2=5$、$x=\pm 1$ となり一致する。検算：$(1,2)$ で $1+4=5$、$f=1+4=5$。$(-1,-2)$ で $f=-5$。よって最大値 5、最小値 -5。