微分積分の問題

$g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-6$, $h(x,y,z)=x+y+z$ とおき、条件の集合を $K=\{g=0,h=0\}$ とする。

最大値・最小値の存在 $K$ は球面と原点を通る平面の交わり（円）であり、有界閉集合である。$f$ は連続なので、$K$ 上で最大値・最小値をとる。

正則性 $\nabla g=(2x,2y,2z)$, $\nabla h=(1,1,1)$ が 1 次従属になるのは $x=y=z$ のときだけだが、このとき $h=0$ から $x=y=z=0$ となり $g=0$ を満たさない。よって $K$ の各点で $\nabla g,\nabla h$ は 1 次独立であり、ラグランジュの未定乗数法が使える。

未定乗数法 最大・最小をとる点では、ある実数 $\lambda ,\mu$ があって $\nabla f=\lambda \nabla g+\mu \nabla h$、すなわち
$$yz=2\lambda x+\mu ,zx=2\lambda y+\mu ,xy=2\lambda z+\mu$$
が成り立つ。1 式目から 2 式目を引くと $z(y-x)=2\lambda (x-y)$、つまり
$$(x-y)(z+2\lambda )=0.$$
同様に 2 式目と 3 式目、1 式目と 3 式目から
$$(y-z)(x+2\lambda )=0,(x-z)(y+2\lambda )=0.$$
もし $x,y,z$ がすべて異なれば $x=y=z=-2\lambda$ となり矛盾する。よって $x,y,z$ のうち少なくとも 2 つは等しい。

$x=y$ のとき、$h=0$ より $z=-2x$。$g=0$ に代入すると $x^2+x^2+4x^2=6$ より $x=\pm 1$。
- $x=y=1,z=-2$ のとき $f=-2$
- $x=y=-1,z=2$ のとき $f=2$

$y=z$, $z=x$ の場合も、文字を入れかえただけで $f$ の値は $2$ または $-2$ である。

結論 候補点での $f$ の値は $2,-2$ のみであり、最大値・最小値はこの中にある。したがって最大値は $2$、最小値は $-2$ である。

（別解の確認）$x+y+z=0$, $x^2+y^2+z^2=6$ より $xy+yz+zx=-3$。$xyz=p$ とおくと $x,y,z$ は $t^3-3t-p=0$ の 3 つの実数解であり、その条件は判別式 $4\cdot 27-27p^2\ge 0$、すなわち $-2\le p\le 2$ で、結果と一致する。

$e_1=x+y+z=0$, $e_2=xy+yz+zx=\frac{e_1^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=-3$, $e_3=xyz=r$ とおく。$x,y,z$ は $t^3-3t-r=0$ の 3 つの実数解（重複を含む）である。逆に、この 3 次方程式が 3 実数解をもてば条件を満たす $x,y,z$ が存在する。
$p(t)=t^3-3t-r$ とすると $p^{\prime }(t)=3t^2-3$ で、極大値 $p(-1)=2-r$、極小値 $p(1)=-2-r$。3 実数解をもつ条件は $p(-1)\ge 0$ かつ $p(1)\le 0$、すなわち $-2\le r\le 2$。
$r=2$ は $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ ($4+1+1=6$, 和 0, 積 2)、$r=-2$ は $(-2,1,1)$ で達成される。よって最大値 $2$、最小値 $-2$。