微分積分の問題

$g=x+y+z-1$, $h=x^2+y^2+z^2-1$ とおく。条件を満たす点の集合 $C$ は球面と平面の交わり（円）なので有界閉集合であり、連続関数 $f$ は $C$ 上で最大値・最小値をとる。

正則性: $\nabla g=(1,1,1)$ と $\nabla h=(2x,2y,2z)$ が一次従属になるのは $x=y=z$ のときだけだが、そのとき $3x=1$ かつ $3x^2=1$ となり矛盾する。よって $C$ 上の各点で 2 つの勾配は一次独立で、ラグランジュの未定乗数法が使える。

未定乗数法: 極値点では定数 $\lambda ,\mu$ があって
$$yz=\lambda +2\mu x,zx=\lambda +2\mu y,xy=\lambda +2\mu z.$$
第 1 式から第 2 式を引くと $z(y-x)=2\mu (x-y)$、すなわち $(x-y)(z+2\mu )=0$。同様に $(y-z)(x+2\mu )=0$, $(z-x)(y+2\mu )=0$。
もし $x,y,z$ がすべて異なれば $x=y=z=-2\mu$ となり矛盾。よって少なくとも 2 つは等しい。対称性から $x=y$ として調べればよい。

$x=y$ のとき $z=1-2x$、これを $2x^2+z^2=1$ に代入して
$$2x^2+(1-2x{)}^2=1⟺6x^2-4x=0⟺x=0,\frac{2}{3}.$$
- $x=y=0,z=1$: $f=0$。
- $x=y=\frac{2}{3},z=-\frac{1}{3}$: $f=\frac{4}{9}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{27}$。

他の 2 つが等しい場合も、座標を入れ替えた点で同じ値になる。最大値・最小値はこれらの候補の中にあるので、最大値は $0$、最小値は $-\frac{4}{27}$。

（確認: $xy+yz+zx=\frac{(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=0$ なので $x,y,z$ は $t^3-t^2-p=0$（$p=xyz$）の 3 実数解。$t^3-t^2$ の極大値 $0$・極小値 $-\frac{4}{27}$ から $-\frac{4}{27}\le p\le 0$ となり一致する。）

$xy+yz+zx=\frac{(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{1-1}{2}=0$。$r=xyz$ とおくと $x,y,z$ は $t^3-t^2+0\cdot t-r=0$ の 3 つの実数解（重複を含む）。逆に、この 3 次方程式が実数解 3 つをもてば、解と係数の関係から条件を満たす。

$g(t)=t^3-t^2$ とおくと $g^{\prime }(t)=3t^2-2t$ で、$t=0$ で極大値 $g(0)=0$、$t=\frac{2}{3}$ で極小値 $g(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}$。方程式 $g(t)=r$ が（重複を込めて）実数解を 3 つもつ条件は $-\frac{4}{27}\le r\le 0$。

最大値 $0$：$(x,y,z)=(1,0,0)$（$x^2+y^2+z^2=1$ を満たす）。最小値 $-\frac{4}{27}$：$(x,y,z)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$。和 $=1$、平方和 $=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=1$、積 $=-\frac{4}{27}$。

よって最大値 $0$、最小値 $-\frac{4}{27}$。