微分積分の問題

方針 ラグランジュの未定乗数法を使う。条件を $g(x,y)=x^2+3y^2-12=0$ とおく。

最大・最小の存在 条件 $g(x,y)=0$ が表す図形は楕円で、有界な閉集合である。$f$ は連続なので、この楕円上で $f$ は最大値と最小値をとる。

未定乗数法が使えること $g_x=2x,g_y=6y$ が同時に $0$ になるのは $(x,y)=(0,0)$ のときだけである。この点は条件を満たさないので、楕円上では常に $(g_x,g_y)\ne (0,0)$ である。したがって、$f$ が最大・最小となる点では、ある実数 $\lambda$ に対して
$$f_x=\lambda g_x,f_y=\lambda g_y$$
が成り立つ。

連立方程式を立てる $f_x=1,f_y=1$ より
$$1=2\lambda x(1),1=6\lambda y(2),x^2+3y^2=12(3)$$
を解く。

解く $(1)$ より $\lambda \ne 0$ である。よって $x=\frac{1}{2\lambda }$、$y=\frac{1}{6\lambda }$ となり、$x=3y$ が得られる。これを $(3)$ に代入すると
$$9y^2+3y^2=12,y^2=1,y=\pm 1$$
となる。したがって、候補の点は $(x,y)=(3,1),(-3,-1)$ の 2 つである。

候補での値を比べる
$$f(3,1)=4,f(-3,-1)=-4$$
最大値と最小値はこれらの候補の点でとるので、最大値は $4$（$(x,y)=(3,1)$ のとき）、最小値は $-4$（$(x,y)=(-3,-1)$ のとき）である。

答え：$(4,-4)$

ラグランジュの未定乗数法、またはコーシー・シュワルツの不等式で解く。

コーシー・シュワルツの不等式より $(x+y{)}^2=(x\cdot 1+\sqrt{3}y\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2\le (x^2+3y^2)(1+\frac{1}{3})=12\cdot \frac{4}{3}=16$。よって $-4\le x+y\le 4$。

等号成立は $(x,\sqrt{3}y)\parallel (1,1/\sqrt{3})$、すなわち $x=3y$ のとき。これを条件式に代入すると $9y^2+3y^2=12$ より $y=\pm 1$、$x=\pm 3$。

検算：$(3,1)$ では $9+3=12$ で条件を満たし、$f=4$。$(-3,-1)$ では $f=-4$。

別解（ラグランジュ）：$1=2\lambda x,1=6\lambda y$ より $x=3y$。同じ結果になる。楕円はコンパクトなので最大値・最小値は存在する。

したがって最大値 4、最小値 $-4$。