微分積分の問題

手順 1：条件を $g(x,y)=0$ の形にする。

$g(x,y)=x^2+y^2-20$ とおくと、条件は $g(x,y)=0$ である。

手順 2：最大・最小が存在することと、未定乗数法が使えることを確かめる。

条件を満たす点の集合は原点中心、半径 $2\sqrt{5}$ の円で、有界な閉集合である。$f$ は連続なので、この円の上で最大値と最小値をとる。

また $g_x=2x,g_y=2y$ が同時に $0$ になるのは $(x,y)=(0,0)$ だけである。この点は円の上にないので、円の上では $(g_x,g_y)\ne (0,0)$ である。

よって、ラグランジュの未定乗数法により、最大・最小をとる点ではある実数 $\lambda$ が存在して
$$f_x=\lambda g_x,f_y=\lambda g_y,g=0$$
が成り立つ。

手順 3：連立方程式を立てて解く。

$f_x=1,f_y=2$ なので
$$1=2\lambda x(1),2=2\lambda y(2),x^2+y^2=20(3)$$

$(1)$ より $\lambda \ne 0$ かつ $x\ne 0$ である。$(2)÷(1)$ より
$$\frac{y}{x}=2,\text{すなわち}y=2x$$

これを $(3)$ に代入すると
$$x^2+4x^2=20,x^2=4,x=\pm 2$$

よって候補の点は $(x,y)=(2,4),(-2,-4)$ の 2 つである。

手順 4：候補の点での値を比べる。

$$f(2,4)=2+8=10,f(-2,-4)=-2-8=-10$$

最大値・最小値はこの候補の中でとるので、最大値は $10$、最小値は $-10$ である。

答え：最大値 $10$、最小値 $-10$

コーシー・シュワルツの不等式より $(x+2y{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5\cdot 20=100$ なので $-10\le x+2y\le 10$。等号は $(x,y)=t(1,2)$ のとき成り立ち、$5t^2=20$ より $t=\pm 2$。$t=2$ で $(x,y)=(2,4)$、$f=2+8=10$。$t=-2$ で $(x,y)=(-2,-4)$、$f=-10$。検算：ラグランジュの未定乗数法では $1=2\lambda x,2=2\lambda y$ より $y=2x$ となり、$5x^2=20$ から $x=\pm 2$。$f=5x=\pm 10$ で一致する。よって最大値 10、最小値 -10。