微分積分の問題

$g(x,y)=x^2+2y^2-6$ とおく。曲線 $g(x,y)=0$ は楕円であり、有界な閉集合である。$f$ は連続なので、$f$ はこの楕円上で最大値と最小値をとる。

また $\nabla g=(2x,4y)$ であり、これが $(0,0)$ となるのは $(x,y)=(0,0)$ のときだけだが、この点は $g=0$ を満たさない。よって楕円上のすべての点で $\nabla g\ne 0$ であり、ラグランジュの未定乗数法が使える。すなわち、最大・最小をとる点では、ある実数 $\lambda$ に対して
$$f_x=\lambda g_x,f_y=\lambda g_y$$
が成り立つ。$f_x=2xy,f_y=x^2$ なので
$$2xy=2\lambda x(1),x^2=4\lambda y(2),x^2+2y^2=6(3)$$

(i) $x=0$ のとき：$(3)$ より $y=\pm \sqrt{3}$ である。$(2)$ は $0=4\lambda y$ となるので $\lambda =0$ とすれば $(1)$, $(2)$ も満たされる。このとき $f=0$。

(ii) $x\ne 0$ のとき：$(1)$ を $2x$ で割って $y=\lambda$。これを $(2)$ に代入すると $x^2=4y^2$。$(3)$ に代入して $4y^2+2y^2=6$ より $y^2=1$、すなわち $y=\pm 1$、$x^2=4$。このとき $f=x^{2}y=4y$ なので
- $y=1$ のとき $f=4$
- $y=-1$ のとき $f=-4$

候補の値は $0,4,-4$ であり、最大値・最小値は存在するので、最大値は $4$（$(x,y)=(\pm 2,1)$）、最小値は $-4$（$(x,y)=(\pm 2,-1)$）である。

（確認）$x^2=6-2y^2$ を代入すると $f=6y-2y^3(-\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3})$。$f^{\prime }=6-6y^2=0$ より $y=\pm 1$ で $f=\pm 4$、端点 $y=\pm \sqrt{3}$ では $f=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0$ となり、結果と一致する。

よって答えは $(4,-4)$。

$x^2=6-2y^2\ge 0$ より $-\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}$。このとき $f=(6-2y^2)y=6y-2y^3=g(y)$ とおく。
$g^{\prime }(y)=6-6y^2=0$ より $y=\pm 1$。
$g(1)=4$、$g(-1)=-4$、端点 $g(\pm \sqrt{3})=\pm (6\sqrt{3}-6\sqrt{3})=0$。
よって最大値は $4$（$y=1,x=\pm 2$）、最小値は $-4$（$y=-1,x=\pm 2$）。
検算：$x=2,y=1$ のとき $4+2=6$ で条件を満たし、$f=4$。$x=2,y=-1$ のとき $f=-4$。ラグランジュ法でも $2xy=2\lambda x$、$x^2=4\lambda y$ から $x\ne 0$ なら $y=\lambda$、$x^2=4y^2$、$6y^2=6$ となり同じ結果。