微分積分の問題

条件の集合について

$g_1=x^2+y^2+z^2-1$, $g_2=x+y+z-1$ とおく。条件を満たす点の集合 $S$ は、球面と平面の交わり（円）である。$S$ は有界な閉集合なので、連続関数 $f$ は $S$ 上で最大値と最小値をとる。

また $\nabla g_1=(2x,2y,2z)$ と $\nabla g_2=(1,1,1)$ が 1 次従属になるのは $x=y=z$ のときだけである。このとき $x+y+z=1$ から $x=y=z=\frac{1}{3}$ となるが、$x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}\ne 1$ なので、これは $S$ 上にない。したがって $S$ 上のすべての点で 2 つの勾配は 1 次独立であり、ラグランジュの未定乗数法が使える。

ラグランジュの未定乗数法

最大・最小をとる点では、ある実数 $\lambda ,\mu$ が存在して
$$3x^2=2\lambda x+\mu ,3y^2=2\lambda y+\mu ,3z^2=2\lambda z+\mu$$
が成り立つ。よって $x,y,z$ はどれも 2 次方程式 $3t^2-2\lambda t-\mu =0$ の解である。この方程式の解は高々 2 個なので、$x,y,z$ のうち少なくとも 2 つは等しい。上で見たとおり 3 つすべてが等しいことはない。

$f$ も条件も $x,y,z$ について対称なので、$x=y=a$, $z=b$ $(a\ne b)$ として調べればよい。条件から
$$2a+b=1,2a^2+b^2=1$$
となる。$b=1-2a$ を代入すると
$$2a^2+(1-2a{)}^2=1⟺6a^2-4a=0⟺a=0,\frac{2}{3}$$
である。

• $a=0$ のとき $b=1$ で、点は $(0,0,1)$ となり、$f=0+0+1=1$ である。
• $a=\frac{2}{3}$ のとき $b=-\frac{1}{3}$ で、点は $\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ となり、$f=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}-\frac{1}{27}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$ である。

最大値・最小値はこれらの候補点（およびその座標を並べ替えた点。$f$ の値は同じ）でとられるので、最大値は $1$、最小値は $\frac{5}{9}$ である。

別の確認（基本対称式）

$x+y+z=1$ と $x^2+y^2+z^2=1$ から $xy+yz+zx=0$ である。$p=xyz$ とおくと
$$f=(x+y+z{)}^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz=1+3p$$
となる。$x,y,z$ は $t^3-t^2=p$ の 3 つの実数解である。$t^3-t^2$ の極大値は $0$（$t=0$）、極小値は $-\frac{4}{27}$（$t=\frac{2}{3}$）なので、3 つの実数解をもつ条件は $-\frac{4}{27}\le p\le 0$ である。よって $\frac{5}{9}\le f\le 1$ となり、上の結果と一致する。

答え：最大値 $1$、最小値 $\frac{5}{9}$

$p=x+y+z=1$、$q=xy+yz+zx=\frac{p^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=0$、$r=xyz$ とおく。

$x^3+y^3+z^3=p^3-3pq+3r=1+3r$ である。

$x,y,z$ は $t^3-t^2-r=0$ の 3 根である。これがすべて実数であるための条件は、$g(t)=t^3-t^2$ について直線 $y=r$ が $y=g(t)$ と 3 つの実数解（重解を含む）で交わることである。

$g^{\prime }(t)=3t^2-2t$ より、$t=0$ で極大値 $g(0)=0$、$t=2/3$ で極小値 $g(2/3)=-4/27$ をとる。したがって $-\frac{4}{27}\le r\le 0$ である。

よって $f=1+3r$ の範囲は $\frac{5}{9}\le f\le 1$ となる。

検算：$(1,0,0)$ は両条件を満たし、$f=1$ となる。$(2/3,2/3,-1/3)$ は $x^2+y^2+z^2=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=1$、$x+y+z=1$ を満たし、$f=\frac{16}{27}-\frac{1}{27}=\frac{5}{9}$ となる。

最大値は $1$、最小値は $\frac{5}{9}$ である。