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数理ファイナンス・保険数学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理ファイナンス・保険数学

3 つの危険資産 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ があり、1 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ とする。これらの期待値と分散は
$E [R_{1}] = 0.05, E [R_{2}] = 0.10, E [R_{3}] = 0.15$
$Var (R_{1}) = 0.01, Var (R_{2}) = 0.04, Var (R_{3}) = 0.09$
であり、 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ は互いに無相関である（共分散はすべて $0$ ）。

資産 $B_{i}$ への投資比率を実数 $w_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）とし、 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ を満たすポートフォリオの収益率を $R_{p} = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2} + w_{3} R_{3}$ とする（空売りを許すので $w_{i}$ は負でもよい）。期待収益率が $E [R_{p}] = 0.10$ となるポートフォリオのうちで、分散 $Var (R_{p})$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

ポートフォリオの期待収益率と分散（説明と入口の問題）
ラグランジュの未定乗数法（説明と入口の問題）
最小分散ポートフォリオ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

無相関なので分散は $\sum Var (R_{i}) w_{i}^{2}$ です。2 つの等式制約のもとでの最小化なので、ラグランジュの未定乗数法を使いましょう。

ヒント 2

停留条件から $w_{i} = \frac{a + b μ _{i}}{Var ( R _{i} )}$ の形になります。これを 2 つの制約に代入して $a, b$ を決めます。

ヒント 3

$A = \sum 1/ s_{i} = 1225/9$ 、 $B = \sum μ_{i} / s_{i} = 55/6$ 、 $C = \sum μ_{i}^{2} / s_{i} = 3/4$ とおくと、 $a A + b B = 1$ 、 $a B + b C = 0.10$ となり、 $a = - 3/325$ 、 $b = 16/65$ です。

答えと解説

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\frac{1}{65}

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解説を読む

$s_{1} = 0.01, s_{2} = 0.04, s_{3} = 0.09$ 、 $μ_{1} = 0.05, μ_{2} = 0.10, μ_{3} = 0.15$ とおく。無相関なので
$Var (R_{p}) = s_{1} w_{1}^{2} + s_{2} w_{2}^{2} + s_{3} w_{3}^{2}$
である。制約 $\sum w_{i} = 1$ 、 $\sum μ_{i} w_{i} = 0.10$ のもとでこれを最小化する。

ラグランジュの未定乗数法

$L = i \sum s_{i} w_{i}^{2} - 2 a (i \sum w_{i} - 1) - 2 b (i \sum μ_{i} w_{i} - 0.10)$
とおき、 $\frac{\partial L}{\partial w _{i}} = 2 s_{i} w_{i} - 2 a - 2 b μ_{i} = 0$ より
$w_{i} = \frac{a + b μ _{i}}{s _{i}} (i = 1, 2, 3)$
を得る。目的関数は正定値の 2 次形式なので、この停留点が最小を与える。

定数 $A, B, C$

$A = \sum \frac{1}{s _{i}} = 100 + 25 + \frac{100}{9} = \frac{1225}{9}, B = \sum \frac{μ _{i}}{s _{i}} = 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{55}{6}, C = \sum \frac{μ _{i}^{2}}{s _{i}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
制約に代入すると
$a A + b B = 1, a B + b C = 0.10$
である。 $D = A C - B^{2} = \frac{3675}{36} - \frac{3025}{36} = \frac{325}{18}$ を用いて解くと
$a = \frac{C - 0.10 B}{D} = \frac{- \frac{1}{6}}{\frac{325}{18}} = - \frac{3}{325}, b = \frac{0.10 A - B}{D} = \frac{\frac{40}{9}}{\frac{325}{18}} = \frac{16}{65}$

最適な比率と分散

$w_{1} = \frac{- \frac{3}{325} + \frac{16}{65} \cdot 0.05}{0.01} = \frac{4}{13}, w_{2} = \frac{- \frac{3}{325} + \frac{16}{65} \cdot 0.10}{0.04} = \frac{5}{13}, w_{3} = \frac{- \frac{3}{325} + \frac{16}{65} \cdot 0.15}{0.09} = \frac{4}{13}$
（確かに和は $1$ 、期待収益率は $\frac{0.20 + 0.50 + 0.60}{13} = 0.10$ ）。よって
$Var (R_{p}) = 0.01 \cdot \frac{16}{169} + 0.04 \cdot \frac{25}{169} + 0.09 \cdot \frac{16}{169} = \frac{0.16 + 1 + 1.44}{169} = \frac{2.6}{169} = \frac{1}{65}$

（別解）最小分散は公式 $σ^{2} = \frac{A m ^{2} - 2 B m + C}{A C - B ^{2}}$ （ $m = 0.10$ ）からも $\frac{5/18}{325/18} = \frac{1}{65}$ と求まる。

別解

$Var (R_{p}) = 0.01 w_{1}^{2} + 0.04 w_{2}^{2} + 0.09 w_{3}^{2}$ （無相関なので共分散項は 0）を、 $w_{1} + w_{2} + w_{3} = 1$ 、 $0.05 w_{1} + 0.10 w_{2} + 0.15 w_{3} = 0.1$ の下で最小化する。

ラグランジュの未定乗数法より、ある定数 $λ, μ$ が存在して $a_{i} w_{i} = λ + μ m_{i}$ （ $a_{i} = Var (R_{i})$ 、 $m_{i} = E [R_{i}]$ ）。すなわち $w_{i} = \frac{λ + μ m _{i}}{a _{i}}$ 。

制約に代入するため
$A = \sum \frac{1}{a _{i}} = 100 + 25 + \frac{100}{9} = \frac{1225}{9}$ 、
$B = \sum \frac{m _{i}}{a _{i}} = 5 + 2.5 + \frac{5}{3} = \frac{55}{6}$ 、
$C = \sum \frac{m _{i}^{2}}{a _{i}} = 0.25 + 0.25 + 0.25 = \frac{3}{4}$ 。

$A λ + B μ = 1$ 、 $B λ + C μ = 0.1$ 。行列式は $A C - B^{2} = \frac{1225}{12} - \frac{3025}{36} = \frac{325}{18}$ 。
$λ = \frac{C - 0.1 B}{A C - B ^{2}} = \frac{- 1/6}{325/18} = - \frac{3}{325}$ 、
$μ = \frac{0.1 A - B}{A C - B ^{2}} = \frac{40/9}{325/18} = \frac{16}{65}$ 。

最小分散は $\sum a_{i} w_{i}^{2} = \sum w_{i} (λ + μ m_{i}) = λ + 0.1 μ = - \frac{3}{325} + \frac{8}{325} = \frac{1}{65}$ 。

検算: $w_{1} = \frac{4}{13}, w_{2} = \frac{5}{13}, w_{3} = \frac{4}{13}$ 。和は $1$ 、期待収益率は $\frac{0.2 + 0.5 + 0.6}{13} = 0.1$ 。分散は $\frac{0.01 \cdot 16 + 0.04 \cdot 25 + 0.09 \cdot 16}{169} = \frac{2.6}{169} = \frac{1}{65}$ で一致する。目的関数は凸なので、これが最小値。

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