関数解析の問題

固有値の決定. $\lambda$ を $T$ の固有値、$f\ne 0$ をその固有関数とし、$u=Tf$ とおく。
$$u(x)={\int }_0^{x}yf(y)dy+x{\int }_x^{1}f(y)dy$$
である。

まず $\lambda =0$ の場合を考える。$f\in L^2\subset L^1$ より $u$ は絶対連続で、ほとんどすべての $x$ で
$$u^{\prime }(x)=xf(x)+{\int }_x^{1}fdy-xf(x)={\int }_x^{1}f(y)dy$$
となる。$u=0$ なら $u^{\prime }=0$ なので ${\int }_x^{1}fdy=0$ がすべての $x$ で成り立ち、$f=0$（a.e.）となって矛盾する。よって $0$ は固有値でない。

次に $\lambda \ne 0$ とする。$f=u/\lambda$ は連続関数と a.e. で等しいので、$f$ を連続な代表元にとる。すると $u^{\prime }(x)={\int }_x^{1}fdy$ は $C^1$ 級で、$u^{\prime \prime }=-f$ となる。したがって $f=u/\lambda$ は $C^2$ 級であり、次が成り立つ。
$$-\lambda f^{\prime \prime }=f,f(0)=\frac{u(0)}{\lambda }=0,f^{\prime }(1)=\frac{u^{\prime }(1)}{\lambda }=0.$$

- $\lambda$ が正の実数でない場合：$-1/\lambda ={\mu }^2$（$\mu \ne 0$, $\mathrm{Re}\mu \ge 0$）とおく。$f(0)=0$ より $f=c\sinh (\mu x)$ であり、$f^{\prime }(1)=c\mu \cosh \mu =0$ となる。$\cosh \mu =0$ となるのは $\mu =i(2n-1)\pi /2$ のときに限られるが、このとき $\lambda =-1/{\mu }^2=4/((2n-1{)}^2{\pi }^2)>0$ となり仮定に反する。よって $c=0$ となり、固有値ではない。
- $\lambda >0$ の場合：$k=1/\sqrt{\lambda }$ とおく。$f(0)=0$ より $f=c\sin (kx)$ で、$f^{\prime }(1)=ck\cos k=0$ となる。$c\ne 0$ だから $\cos k=0$、すなわち $k=\frac{(2n-1)\pi }{2}$（$n=1,2,\dots$）である。よって
$${\lambda }_n=\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}.$$

逆に、$f=\sin (kx)$（$k=(2n-1)\pi /2$）とすると、$u=Tf$ と $g=f/k^2$ はどちらも $w^{\prime \prime }=-f,w(0)=0,w^{\prime }(1)=0$ を満たす。その差 $h=u-g$ は $h^{\prime \prime }=0,h(0)=0,h^{\prime }(1)=0$ を満たすので $h=0$ である。よって $Tf={\lambda }_{n}f$ が成り立ち、${\lambda }_n$ は実際に固有値である。また、上の議論から固有関数は $\sin (kx)$ の定数倍に限られるので、各固有空間は 1 次元である。

個数の計算. ${\lambda }_n>\frac{1}{100}$ は $(2n-1{)}^2<\frac{400}{{\pi }^2}$ と同値である。${\pi }^2\approx 9.8696$ より $\frac{400}{{\pi }^2}\approx 40.53$ だから、$5^2=25<40.53<49=7^2$ より $2n-1\in \{1,3,5\}$、すなわち $n=1,2,3$ となる。

実際、${\lambda }_3=\frac{4}{25{\pi }^2}\approx 0.0162>0.01$、${\lambda }_4=\frac{4}{49{\pi }^2}\approx 0.0083<0.01$ である。各固有値の重複度は $1$ なので、求める個数は $3$ である。

$u=Tf$ とおくと $u(x)={\int }_0^{x}yf(y)dy+x{\int }_x^{1}f(y)dy$ である。これより $u(0)=0$、$u^{\prime }(x)={\int }_x^{1}f(y)dy$（よって $u^{\prime }(1)=0$）、$u^{\prime \prime }=-f$ が成り立つ。

$Tf=\lambda f$ かつ $f\ne 0$ とする。$\lambda =0$ とすると $u=0$ となり、$f=-u^{\prime \prime }=0$ で矛盾する。よって $\lambda \ne 0$ であり、$f=u/\lambda$ と書ける。

このとき $\lambda u^{\prime \prime }=-u$、$u(0)=0$、$u^{\prime }(1)=0$ である。$T$ は正の自己共役コンパクト作用素なので、$\lambda >0$ としてよい。$k=1/\sqrt{\lambda }$ とおくと $u=\sin (kx)$（定数倍を除く）で、$u^{\prime }(1)=k\cos k=0$ より $k=(n-\frac{1}{2})\pi$（$n=1,2,\dots$）となる。したがって固有値は ${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1/2{)}^2{\pi }^2}$ で、各固有空間の次元は 1 である。

${\lambda }_n>1/100$ は $(n-\frac{1}{2})\pi <10$、すなわち $n-\frac{1}{2}<10/\pi \approx 3.183$ と同値で、$n<3.683$ となる。よって $n=1,2,3$ の 3 個である。

検算：${\lambda }_3=1/(6.25{\pi }^2)\approx 0.01621>0.01$、${\lambda }_4=1/(12.25{\pi }^2)\approx 0.00827<0.01$。

答えは 3。