コンパクト作用素と積分作用素の固有値

積分作用素がコンパクトかを判定し、核が分離型の積分作用素の固有値・固有関数を求められる

前提

スペクトルとスペクトル半径（大学院数学関数解析）
ヒルベルト空間と射影定理（大学院数学関数解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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スペクトルとスペクトル半径（大学院数学関数解析）
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ヒルベルト空間と射影定理（大学院数学関数解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

説明

有界線形作用素のうち、有界な列を「収束する部分列をもつ列」に移すものをコンパクト作用素といいます。コンパクト作用素は無限次元の空間に作用しますが、行列によく似た性質をもちます。特に、 $0$ でないスペクトルは固有値だけからなり、それらは $0$ 以外の点に集積しません。この技能では、まず核が $L^{2}$ に入る積分作用素がコンパクトであることを判定します。次に、核が $K (x, y) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x) b_{i} (y)$ の形（分離型、退化核ともいう）のとき、 $0$ でない固有値と固有関数を $n$ 次正方行列の固有値問題に直して求めます。

なぜそうしてよいのか

【コンパクト性】 $Ω \subset R^{d}$ を可測集合とし、複素数値の $L^{2} (Ω)$ 上で $(T f) (x) = \int_{Ω} K (x, y) f (y) d y$ を考えます。 $K$ は $Ω \times Ω$ 上可測で $K \in L^{2} (Ω \times Ω)$ とします。ヘルダー（コーシー・シュワルツ）の不等式から、各 $x$ で $∣ (T f) (x) ∣^{2} \leq \int_{Ω} ∣ K (x, y) ∣^{2} d y \cdot ∥ f ∥_{2}^{2}$ です。これを $x$ で積分し、累次積分を重積分に直すと $∥ T ∥ \leq ∥ K ∥_{L^{2} (Ω \times Ω)}$ が得られます。

次に、コンパクト作用素の性質を二つ使います。一つ目は、像が有限次元の有界作用素（有限階作用素）はコンパクトだということです。有界列の像は有限次元空間の有界列になるので、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理で収束部分列がとれます。二つ目は、コンパクト作用素の列が作用素ノルムで収束するとき、その極限もコンパクトだということです。これは対角線論法と $L^{2}$ の完備性から示せます。 $L^{2} (Ω \times Ω)$ の元 $K$ は、有限測度の長方形の定義関数の一次結合 $K_{N} (x, y) = \sum_{i = 1}^{N} a_{i} (x) b_{i} (y)$ で $L^{2}$ ノルムの意味でいくらでも近似できます。 $K_{N}$ が定める作用素 $T_{N}$ は有限階で、 $∥ T - T_{N} ∥ \leq ∥ K - K_{N} ∥_{2} \to 0$ です。よって $T$ はコンパクトです（ヒルベルト・シュミット作用素）。

【分離型核の固有値】 $K (x, y) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x) b_{i} (y)$ （ $a_{i}, b_{i} \in L^{2} (Ω)$ ）とし、 $c_{i} = \int_{Ω} b_{i} (y) f (y) d y$ とおくと $T f = \sum_{i} c_{i} a_{i}$ です。 $λ \neq = 0$ 、 $f \neq = 0$ で $T f = λ f$ とすると $f = \frac{1}{λ} \sum_{i} c_{i} a_{i}$ となります。もし $c = 0$ なら $f = 0$ となって矛盾するので、 $c \neq = 0$ です。両辺に $b_{j}$ を掛けて積分すると $λ c_{j} = \sum_{i} m_{j i} c_{i}$ （ $m_{j i} = \int_{Ω} b_{j} a_{i} d y$ ）です。つまり $λ$ は行列 $M = (m_{j i})$ の固有値です。逆に $M c = λ c$ （ $λ \neq = 0$ 、 $c \neq = 0$ ）のとき、 $f = \sum_{i} c_{i} a_{i}$ とおくと $\int b_{j} f = (M c)_{j} = λ c_{j}$ なので $T f = λ f$ です。さらに $f = 0$ なら $λ c = M c = 0$ となって矛盾するので、 $f \neq = 0$ です。この議論に $a_{i}$ の一次独立性は要りません。こうして、 $T$ の $0$ でない固有値は $M$ の $0$ でない固有値と一致します。一方、 $L^{2} (Ω)$ が無限次元なら、 $ker T \supset {f : \int b_{i} f = 0 (i = 1, \dots, n)}$ は有限個の条件で定まる無限次元の部分空間です。よって $0$ も固有値です。

手順

核が $L^{2}$ に入るか確かめる： $\iint_{Ω \times Ω} ∣ K (x, y) ∣^{2} d x d y < \infty$ なら $T$ はコンパクトで、 $∥ T ∥ \leq ∥ K ∥_{2}$ が成り立つ
核を分離型 $K (x, y) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x) b_{i} (y)$ （ $x$ だけの関数と $y$ だけの関数の積の和）に書く
行列 $M = (m_{j i})$ 、 $m_{j i} = \int_{Ω} b_{j} (y) a_{i} (y) d y$ を計算する（複素共役は付けない）
特性方程式 $det (M - λ E) = 0$ を解き、その $0$ でない解を $T$ の $0$ でない固有値とする
各 $λ$ について $M c = λ c$ の解 $c \neq = 0$ を求め、固有関数 $f = \sum_{i} c_{i} a_{i}$ をつくる。 $L^{2} (Ω)$ が無限次元なら $0$ も固有値であることを添える

例題

$L^{2} ([0, 1])$ （複素数値）上の積分作用素 $(T f) (x) = \int_{0}^{1} (1 + x y) f (y) d y$ がコンパクトであることを確かめ、 $T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

例題の解答

【手順1】核 $K (x, y) = 1 + x y$ は $[0, 1]^{2}$ 上で連続なので $0 \leq K \leq 2$ です。よって $\iint ∣ K ∣^{2} d x d y \leq 4 < \infty$ となり、 $T$ はコンパクトです。
【手順2】 $K (x, y) = 1 \cdot 1 + x \cdot y$ と分けます。 $a_{1} (x) = 1, b_{1} (y) = 1, a_{2} (x) = x, b_{2} (y) = y$ です。
【手順3】 $m_{11} = \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 d y = 1$ 、 $m_{12} = \int_{0}^{1} 1 \cdot y d y = \frac{1}{2}$ 、 $m_{21} = \int_{0}^{1} y \cdot 1 d y = \frac{1}{2}$ 、 $m_{22} = \int_{0}^{1} y \cdot y d y = \frac{1}{3}$ です。よって $M = (1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{3})$ です。
【手順4】 $det (M - λ E) = (1 - λ) (\frac{1}{3} - λ) - \frac{1}{4} = λ^{2} - \frac{4}{3} λ + \frac{1}{12} = 0$ です。両辺を $12$ 倍すると $12 λ^{2} - 16 λ + 1 = 0$ なので、 $λ = \frac{16 \pm 256 - 48}{24} = \frac{4 \pm 13}{6}$ です。 $13 < 4$ なのでどちらも $0$ でなく、これが $0$ でない固有値のすべてです。
【手順5】第1行 $(1 - λ) c_{1} + \frac{1}{2} c_{2} = 0$ より $c_{2} = 2 (λ - 1) c_{1}$ です。 $λ = \frac{4 + 13}{6}$ で $c_{1} = 1$ とすると、 $c_{2} = \frac{- 2 + 13}{3}$ です。よって固有関数は $f (x) = 1 + \frac{- 2 + 13}{3} x$ です。検算として $s = \frac{- 2 + 13}{3}$ とおくと、 $T f (x) = (1 + \frac{s}{2}) + (\frac{1}{2} + \frac{s}{3}) x$ です。ここで $1 + \frac{s}{2} = \frac{4 + 13}{6} = λ$ 、 $\frac{1}{2} + \frac{s}{3} = \frac{5 + 2 13}{18} = λ s$ なので、 $T f = λ f$ が確かめられます。同様に、 $λ = \frac{4 - 13}{6}$ の固有関数は $1 - \frac{2 + 13}{3} x$ です。なお $\int_{0}^{1} f = \int_{0}^{1} y f = 0$ をみたす $f$ はすべて $T f = 0$ となるので、 $0$ も固有値です（ここで問われているのは $0$ でない固有値です）。
答え： $\frac{4 + 13}{6}, \frac{4 - 13}{6}$

答え: ${\frac{4 + 13}{6}, \frac{4 - 13}{6}}$

よくある誤り

$m_{j i}$ を $L^{2}$ 内積とみて $\int b_{j} a_{i}$ のように複素共役を付けてしまう誤り。正しくは $m_{j i}$ は $c_{j} = \int b_{j} (y) f (y) d y$ から出てくる量なので、 $m_{j i} = \int b_{j} a_{i} d y$ （共役なし）。たとえば $[0, 2 π]$ 上の $K (x, y) = e^{i (x - y)}$ では $a_{1} = e^{i x}, b_{1} = e^{- i y}$ で、 $m_{11} = \int_{0}^{2 π} e^{- i y} e^{i y} d y = 2 π$ となる（共役を付けると $\int_{0}^{2 π} e^{- 2 i y} d y = 0$ となって誤る）。
$λ f = \sum c_{i} a_{i}$ を、 $λ = 0$ の場合を区別せずに $λ$ で割ってしまう誤り。正しくは、行列 $M$ から得られるのは $0$ でない固有値だけで、 $λ = 0$ は別に扱う。 $L^{2} ([0, 1])$ のように無限次元なら $ker T \supset {f : \int b_{i} f = 0 (i = 1, \dots, n)}$ は無限次元なので、 $0$ は必ず固有値になる。
核が有界・連続ならいつでもコンパクトだと考えてしまう誤り。正しくは、ここで使える十分条件は $\iint_{Ω \times Ω} ∣ K ∣^{2} < \infty$ である。たとえば $Ω = R$ 、 $K (x, y) = e^{- ∣ x - y ∣}$ は有界連続だが $\iint ∣ K ∣^{2} = \infty$ で、 $T$ はコンパクトでない。実際、 $T f \neq = 0$ となる $f$ をとり $f_{n} (x) = f (x - n)$ とおくと、 $T f_{n} = (T f) (\cdot - n)$ はノルム一定のまま $0$ に弱収束するので、収束部分列をもたない。
固有値を $\int_{Ω} K (x, x) d x$ などの量だけから決めてしまう誤り。正しくは $\int_{Ω} K (x, x) d x = \sum_{i} m_{ii} = tr M$ は $M$ の固有値の和にすぎない（例では $\int_{0}^{1} (1 + x^{2}) d x = \frac{4}{3} = \frac{4 + 13}{6} + \frac{4 - 13}{6}$ ）。個々の固有値は $det (M - λ E) = 0$ を解いて求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）