関数解析の問題

$\lambda \ne 0$ を固有値、$u\ne 0$ を対応する固有関数とする（求める固有値は $\frac{1}{10}$ 以上なので $\lambda \ne 0$ としてよい）。核は
$$\pi -\max (x,y)=\{\begin{array}{ll}\pi -x& (y\le x)\\ \pi -y& (y>x)\end{array}$$
なので
$$(Tu)(x)=(\pi -x){\int }_0^{x}u(y)dy+{\int }_x^{\pi }(\pi -y)u(y)dy.$$

正則性と微分方程式. $u\in L^2\subset L^1$ より右辺は $x$ について絶対連続で、ほとんどすべての $x$ で
$$(Tu{)}^{\prime }(x)=-{\int }_0^{x}u(y)dy+(\pi -x)u(x)-(\pi -x)u(x)=-{\int }_0^{x}u(y)dy.$$
よって $u={\lambda }^{-1}Tu$ は連続であり、すると $(Tu{)}^{\prime }$ は $C^1$ 級、したがって $u$ は $C^2$ 級で
$$\lambda u^{\prime \prime }=(Tu{)}^{\prime \prime }=-u,\lambda u^{\prime }(0)=(Tu{)}^{\prime }(0)=0,\lambda u(\pi )=(Tu)(\pi )=0.$$
すなわち $u$ は境界値問題
$$\lambda u^{\prime \prime }+u=0,u^{\prime }(0)=0,u(\pi )=0(\ast )$$
の $0$ でない解である。

逆向き. 逆に $u$ が $(\ast )$ の $0$ でない $C^2$ 解なら、$w=Tu-\lambda u$ とおくと、上の計算から $(Tu{)}^{\prime \prime }=-u$, $(Tu{)}^{\prime }(0)=0$, $(Tu)(\pi )=0$ なので $w^{\prime \prime }=-u+u=0$, $w^{\prime }(0)=0$, $w(\pi )=0$。よって $w=0$ で、$Tu=\lambda u$。したがって、$0$ でない固有値は $(\ast )$ が $0$ でない解をもつ $\lambda$ と一致する。

$(\ast )$ を解く. $T$ の核は実対称なので $T$ は自己共役で固有値は実数である。
- $\lambda <0$ のとき、$\mu =1/\sqrt{-\lambda }$ として $u^{\prime \prime }={\mu }^{2}u$。$u^{\prime }(0)=0$ より $u=A\cosh \mu x$ で、$u(\pi )=A\cosh \mu \pi =0$ から $A=0$。よって固有値ではない。
- $\lambda >0$ のとき、$k=1/\sqrt{\lambda }>0$ として $u^{\prime \prime }=-k^{2}u$。$u^{\prime }(0)=0$ より $u=A\cos kx$ で、$u(\pi )=A\cos k\pi =0$, $A\ne 0$ から $k\pi =\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi$ $(n=1,2,3,\dots )$。

よって $T$ の $0$ でない固有値は
$${\lambda }_n=\frac{1}{(n-\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{4}{(2n-1{)}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、固有関数は $\cos \left(n-\frac{1}{2}\right)x$ である。

条件 $\lambda \ge \frac{1}{10}$. $\frac{4}{(2n-1{)}^2}\ge \frac{1}{10}⟺(2n-1{)}^2\le 40⟺2n-1\le 6$ より $2n-1=1,3,5$。対応する固有値は $4,\frac{4}{9},\frac{4}{25}$（次は $\frac{4}{49}<\frac{1}{10}$）。

以上より、求める固有値は $\left\{4,\frac{4}{9},\frac{4}{25}\right\}$。

$u=Tf$ とおくと $u(x)=(\pi -x){\int }_0^{x}f(y)dy+{\int }_x^{\pi }(\pi -y)f(y)dy$。微分して $u^{\prime }(x)=-{\int }_0^{x}f(y)dy$、$u^{\prime \prime }=-f$（ほとんどすべての $x$）。また $u^{\prime }(0)=0$, $u(\pi )=0$。つまり $T$ は $-u^{\prime \prime }=f$, $u^{\prime }(0)=0$, $u(\pi )=0$ のグリーン作用素である。

$Tf=\lambda f$（$f\ne 0$）とする。$T$ は実対称な（エルミート）ヒルベルト・シュミット作用素で、${\int }_0^{\pi }f\overline{Tf}=\int |u^{\prime }{|}^2\cdot$ の形（$f=-u^{\prime \prime }$ を部分積分、境界項は $u^{\prime }(0)=0$, $u(\pi )=0$ で消える）から $T$ は正作用素。$T$ は単射（$Tf=0$ なら $u=0$ より $f=-u^{\prime \prime }=0$）なので固有値は正で、$\lambda =0$ は固有値でない。

$f=u/\lambda$ なので $-\lambda u^{\prime \prime }=u$、すなわち $u^{\prime \prime }=-u/\lambda$。$\lambda =1/k^2$（$k>0$）として $u=\cos kx$（$u^{\prime }(0)=0$ より）。$u(\pi )=0$ から $\cos k\pi =0$、$k=n+\frac{1}{2}$ $(n=0,1,2,\dots )$。固有値は
$${\lambda }_n=\frac{1}{(n+1/2{)}^2}=\frac{4}{(2n+1{)}^2}.$$
${\lambda }_0=4$, ${\lambda }_1=\frac{4}{9}$, ${\lambda }_2=\frac{4}{25}=0.16$, ${\lambda }_3=\frac{4}{49}\approx 0.0816<\frac{1}{10}$。${\lambda }_n$ は単調減少なので、$\frac{1}{10}$ 以上のものは $n=0,1,2$ の 3 つ。