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関数解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学関数解析

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^{2} ([0, 1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$(T f) (x) = \int_{0}^{1} (1 - max (x, y)) f (y) d y (f \in L^{2} ([0, 1]), x \in [0, 1])$
で定める。複素数 $λ$ が $T$ の固有値であるとは、 $f \neq = 0$ である $f \in L^{2} ([0, 1])$ で $T f = λ f$ を満たすものが存在することとする。 $T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きい実数であるものをすべて求めよ。

この問題で使うもの

自己共役作用素と固有関数展開（説明と入口の問題）
コンパクト作用素と積分作用素の固有値（説明と入口の問題）
境界値問題と固有値（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（112 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$max (x, y)$ を $y < x$ と $y > x$ で場合分けして $T f$ を書き、 $x$ で 2 回微分して微分方程式に帰着させよう。

ヒント 2

$g = T f$ は $g^{''} = - f$ と境界条件 $g^{'} (0) = 0, g (1) = 0$ を満たす。 $T f = λ f$ は $λ f^{''} = - f$ の境界値問題になる。

ヒント 3

$λ > 0$ では $f = cos (k x)$ （ $k = 1/ λ$ ）で、条件は $cos k = 0$ 。 $λ \leq 0$ の場合は解がないことを確かめ、最後に $λ > \frac{1}{100}$ を満たす $k$ を数える。

答えと解説

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{\frac{4}{π ^{2}}, \frac{4}{9 π ^{2}}, \frac{4}{25 π ^{2}}}

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解説を読む

$f \in L^{2} ([0, 1])$ に対し $g = T f$ とおくと、 $max (x, y)$ で場合分けして
$g (x) = (1 - x) \int_{0}^{x} f (y) d y + \int_{x}^{1} (1 - y) f (y) d y .$
$f \in L^{2} \subset L^{1}$ なので $g$ は絶対連続で、ほとんどいたるところ
$g^{'} (x) = - \int_{0}^{x} f (y) d y + (1 - x) f (x) - (1 - x) f (x) = - \int_{0}^{x} f (y) d y .$
よって $g^{'}$ も絶対連続で $g^{''} = - f$ （a.e.）であり、境界条件
$g^{'} (0) = 0, g (1) = 0$
を満たす。逆に、 $u^{''} = - f$ , $u^{'} (0) = 0$ , $u (1) = 0$ を満たす $u$ は一意（差 $w$ は $w^{''} = 0$ , $w^{'} (0) = 0$ , $w (1) = 0$ より $w = 0$ ）なので、 $T f$ はこの境界値問題の解として特徴づけられる。

$λ = 0$ . $T f = 0$ なら $f = - g^{''} = 0$ なので $0$ は固有値でない。

$λ \neq = 0$ . $T f = λ f$ とすると $f = g / λ$ は $C^{2}$ 級で
$λ f^{''} = - f, f^{'} (0) = 0, f (1) = 0$
を満たす。逆にこれを満たす $f \neq = 0$ をとると、 $u = λ f$ は $u^{''} = - f$ , $u^{'} (0) = 0$ , $u (1) = 0$ を満たすので一意性から $T f = λ f$ となる。

$λ < 0$ のとき、 $μ = 1/ - λ$ として $f^{''} = μ^{2} f$ 、 $f^{'} (0) = 0$ より $f = c cosh (μx)$ 。 $f (1) = c cosh μ = 0$ から $c = 0$ となり不適。
$λ > 0$ のとき、 $k = 1/ λ > 0$ として $f^{''} = - k^{2} f$ 、 $f^{'} (0) = 0$ より $f = c cos (k x)$ 。 $f (1) = 0$ , $c \neq = 0$ から $cos k = 0$ 、すなわち $k = (n - \frac{1}{2}) π$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 。

（ $T$ は実対称核をもつ自己共役作用素なので、非実数の固有値はない。）以上より $T$ の固有値は
$λ_{n} = \frac{1}{k ^{2}} = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
で、固有関数は $cos (\frac{( 2 n - 1 ) π}{2} x)$ である。

$λ_{n} > \frac{1}{100}$ は $(2 n - 1)^{2} < \frac{400}{π ^{2}}$ と同値である。 $π^{2} \approx 9.87$ より $\frac{400}{π ^{2}} \approx 40.5$ なので、 $2 n - 1 \in {1, 3, 5}$ （ $7^{2} = 49 > 40.5$ ）。したがって求める固有値は
$\frac{4}{π ^{2}}, \frac{4}{9 π ^{2}}, \frac{4}{25 π ^{2}} .$

別解

$T f = λ f$ とし $u = T f$ とおく。 $u (x) = (1 - x) \int_{0}^{x} f (y) d y + \int_{x}^{1} (1 - y) f (y) d y$ 。 $f \in L^{2}$ より $u$ は絶対連続で $u^{'} (x) = - \int_{0}^{x} f (y) d y$ （ $(1 - x) f (x)$ の項は相殺）。よって $u^{'} (0) = 0$ 、 $u (1) = 0$ 、 $u^{''} = - f$ （ほとんど至る所）。

$λ = 0$ なら $T f = 0$ より $f = - u^{''} = 0$ となり固有値でない（ $T$ は単射）。 $λ \neq = 0$ のとき $f = u / λ$ なので、 $λ u =$ ではなく $u^{''} = - u / λ$ 、 $u^{'} (0) = 0$ 、 $u (1) = 0$ 。

$T$ は自己共役（核が実対称）で正の作用素（グリーン関数）であるから固有値は正の実数。 $λ = 1/ ω^{2}$ （ $ω > 0$ ）とおくと $u = c cos (ω x)$ （ $u^{'} (0) = 0$ ）、 $u (1) = 0$ より $cos ω = 0$ 、 $ω = (k + \frac{1}{2}) π$ （ $k = 0, 1, 2, \dots$ ）。逆にこの $u$ から $f = ω^{2} u$ は固有関数になる。固有値は
$λ_{k} = \frac{1}{( k + 1/2 ) ^{2} π ^{2}} = \frac{4}{( 2 k + 1 ) ^{2} π ^{2}} .$

数値: $λ_{0} = 4/ π^{2} \approx 0.4053$ 、 $λ_{1} = 4/ (9 π^{2}) \approx 0.04503$ 、 $λ_{2} = 4/ (25 π^{2}) \approx 0.01621$ 、 $λ_{3} = 4/ (49 π^{2}) \approx 0.00827 < 0.01$ 。

よって $1/100$ より大きい固有値は $k = 0, 1, 2$ の 3 つ。

検算: トレース $\int_{0}^{1} (1 - x) d x = 1/2$ と $\sum 4/ ((2 k + 1)^{2} π^{2}) = \frac{4}{π ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{8} = \frac{1}{2}$ が一致。

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