境界値問題のグリーン関数

2 点境界値問題 $- (p y^{'})^{'} + q y = f$ （両端に境界条件、 $0$ が固有値でないとき）の解を、斉次方程式の 2 つの解からグリーン関数 $G (x, s)$ を作って $y (x) = \int G (x, s) f (s) d s$ と表せる。 $G$ が連続で $G (x, s) = G (s, x)$ をみたすことを確かめられる

前提

境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

この技能までの道筋（66 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
部分積分（数学III 積分法）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

説明

区間 $[a, b]$ 上の 2 点境界値問題 $- (p y^{'})^{'} + q y = f$ （両端に斉次の境界条件）は、右辺 $f$ を取り替えるたびに解き直す必要はありません。斉次方程式の解を 2 つ用意してグリーン関数 $G (x, s)$ を一度作っておけば、どんな連続な $f$ に対しても解が $y (x) = \int_{a}^{b} G (x, s) f (s) d s$ という積分 1 本で書けます。弦のたわみ（ $G (x, s)$ は点 $s$ に単位の力をかけたときの点 $x$ の変位）、熱の定常分布、静電ポテンシャルなどで使われる考え方です。

なぜそうしてよいのか

準備. $p, q, f$ は $[a, b]$ 上で連続、 $p$ は $C^{1}$ 級で $p > 0$ とし、境界条件は $α_{1} y (a) + β_{1} y^{'} (a) = 0$ , $α_{2} y (b) + β_{2} y^{'} (b) = 0$ （ $(α_{i}, β_{i}) \neq = (0, 0)$ ）の形（右辺が $0$ ）とします。係数が連続な線形 2 階方程式 $- (p u^{'})^{'} + q u = 0$ は、1 点で $u$ と $u^{'}$ の値を指定すると、区間全体で定義された解がただ 1 つ存在します（初期値問題の解の存在と一意性）。これを使って、 $u_{1} (a) = β_{1}, u_{1}^{'} (a) = - α_{1}$ となる解 $u_{1}$ と、 $u_{2} (b) = β_{2}, u_{2}^{'} (b) = - α_{2}$ となる解 $u_{2}$ をとります。 $α_{1} β_{1} + β_{1} (- α_{1}) = 0$ なので $u_{1}$ は左端の条件だけを、同様に $u_{2}$ は右端の条件だけをみたし、初期値が $(0, 0)$ でないのでどちらも $0$ でない関数です。

ロンスキアンが $0$ にならない理由. $W = u_{1} u_{2}^{'} - u_{1}^{'} u_{2}$ とおくと $(p W)^{'} = u_{1} (p u_{2}^{'})^{'} - u_{2} (p u_{1}^{'})^{'} = u_{1} q u_{2} - u_{2} q u_{1} = 0$ なので、 $p W$ は定数です。 $p > 0$ なので、 $W$ はどこでも $0$ でないか、恒等的に $0$ かのどちらかです。もしある点 $x_{0}$ で $W (x_{0}) = 0$ なら、ベクトル $(u_{1} (x_{0}), u_{1}^{'} (x_{0}))$ と $(u_{2} (x_{0}), u_{2}^{'} (x_{0}))$ が平行なので、 $(c_{1}, c_{2}) \neq = (0, 0)$ で $c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}$ の $x_{0}$ での値と微分係数がともに $0$ となり、一意性から $c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2} \equiv 0$ 、つまり $u_{1}, u_{2}$ は 1 次従属です。ところが「 $0$ が固有値でない」とは、 $f = 0$ のときの境界値問題が $y = 0$ しか解をもたないことで、1 次従属なら $u_{1}$ が $u_{2}$ の定数倍になって両端の条件をみたす $0$ でない解になってしまいます。よってこの仮定のもとで $W$ はどこでも $0$ でなく、定数 $C = - p (x) W (x) \neq = 0$ がとれます。

解の公式を確かめる.
$y (x) = \frac{1}{C} [u_{2} (x) \int_{a}^{x} u_{1} (s) f (s) d s + u_{1} (x) \int_{x}^{b} u_{2} (s) f (s) d s]$
とおきます。 $f$ が連続なので積分は上端で微分でき、上端・下端から出る項 $\frac{1}{C} (u_{2} u_{1} f - u_{1} u_{2} f)$ が打ち消し合って $y^{'} = \frac{1}{C} [u_{2}^{'} \int_{a}^{x} u_{1} f + u_{1}^{'} \int_{x}^{b} u_{2} f]$ 。これに $p$ を掛けてもう一度微分すると、 $(p u_{i}^{'})^{'} = q u_{i}$ と $p (u_{1} u_{2}^{'} - u_{1}^{'} u_{2}) = p W = - C$ から $(p y^{'})^{'} = q y - f$ 、つまり $- (p y^{'})^{'} + q y = f$ が成り立ちます。また $x = a$ では第 1 項の積分が $0$ なので $y (a), y^{'} (a)$ はともに $u_{1} (a), u_{1}^{'} (a)$ の同じ定数倍となり、左端の条件をみたします。右端も同様です。この式を 1 本の積分にまとめたものが
$G (x, s) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{u _{1} ( x ) u _{2} ( s )}{C} \frac{u _{1} ( s ) u _{2} ( x )}{C} (a \leq x \leq s) (s \leq x \leq b), y (x) = \int_{a}^{b} G (x, s) f (s) d s$
で、これがグリーン関数です。

連続性と対称性. $x = s$ では 2 つの式がともに $u_{1} (s) u_{2} (s) / C$ になるので $G$ は連続です。一方 $\partial_{x} G$ は $x = s$ で $\frac{u _{1} ( s ) u _{2}^{'} ( s ) - u _{1}^{'} ( s ) u _{2} ( s )}{C} = \frac{W ( s )}{C} = - \frac{1}{p ( s )}$ だけ跳びます。これは「点 $s$ に集中した単位の力」で傾きが折れ曲がることに当たります。また $G (x, s) = \frac{u _{1} ( m i n ( x , s )) u _{2} ( m a x ( x , s ))}{C}$ と書けるので、 $x$ と $s$ を入れ替えても変わらず $G (x, s) = G (s, x)$ です。

手順

$0$ が固有値でないことを確かめる（ $f = 0$ の境界値問題の解が $y = 0$ だけであること）
斉次方程式 $- (p u^{'})^{'} + q u = 0$ の解で、初期条件 $u_{1} (a) = β_{1}, u_{1}^{'} (a) = - α_{1}$ をみたす $u_{1}$ （左端の条件をみたす）と、 $u_{2} (b) = β_{2}, u_{2}^{'} (b) = - α_{2}$ をみたす $u_{2}$ （右端の条件をみたす）を求める。それぞれ $0$ でない定数倍に取り替えてもよい
ロンスキアン $W = u_{1} u_{2}^{'} - u_{1}^{'} u_{2}$ を計算し、定数 $C = - p W$ （ $0$ でない）を求める
$G (x, s) = \frac{u _{1} ( min ( x , s )) u _{2} ( max ( x , s ))}{C}$ を書き、 $x = s$ で連続であること、 $G (x, s) = G (s, x)$ であることを確認する
$y (x) = \int_{a}^{b} G (x, s) f (s) d s$ を、 $s < x$ と $s > x$ に積分区間を分けて計算する

例題

区間 $[0, 1]$ 上の境界値問題 $- y^{''} = f (x)$ , $y (0) = 0$ , $y^{'} (1) = 0$ のグリーン関数 $G (x, s)$ を求め、それを用いて $f (x) = 1$ のときの解 $y$ について $y (1)$ を求めよ。

例題の解答

ここでは $p = 1$ , $q = 0$ で、境界条件は $(α_{1}, β_{1}) = (1, 0)$ , $(α_{2}, β_{2}) = (0, 1)$ です。

手順 1（ $0$ が固有値でないこと）: $- y^{''} = 0$ の解は $y = c_{1} x + c_{2}$ 。 $y (0) = 0$ から $c_{2} = 0$ 、 $y^{'} (1) = c_{1} = 0$ なので $y = 0$ だけです。

手順 2（ $u_{1}, u_{2}$ を選ぶ）: 左端: $u_{1} (0) = β_{1} = 0$ , $u_{1}^{'} (0) = - α_{1} = - 1$ をみたす解は $- x$ で、 $- 1$ 倍して $u_{1} (x) = x$ とします。右端: $u_{2} (1) = β_{2} = 1$ , $u_{2}^{'} (1) = - α_{2} = 0$ をみたす解は $u_{2} (x) = 1$ です。

手順 3（ $C$ を求める）: $W = u_{1} u_{2}^{'} - u_{1}^{'} u_{2} = x \cdot 0 - 1 \cdot 1 = - 1$ なので $C = - p W = - 1 \cdot (- 1) = 1$ 。

手順 4（ $G$ を書く）:
$G (x, s) = \frac{u _{1} ( min ( x , s )) u _{2} ( max ( x , s ))}{1} = min (x, s) .$
$x = s$ で両側とも $s$ なので連続、 $min (x, s) = min (s, x)$ なので対称です。また $G (0, s) = 0$ 、 $x > s$ では $G = s$ （ $x$ によらない）なので $\partial_{x} G (1, s) = 0$ となり、境界条件もみたしています。

手順 5（積分する）:
$y (x) = \int_{0}^{1} min (x, s) \cdot 1 d s = \int_{0}^{x} s d s + \int_{x}^{1} x d s = \frac{x ^{2}}{2} + x (1 - x) = x - \frac{x ^{2}}{2} .$
よって $y (1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 。（確かめ: $y^{''} = - 1$ より $- y^{''} = 1$ 、 $y (0) = 0$ 、 $y^{'} (1) = 1 - 1 = 0$ 。）

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

分母を $C = - p W$ ではなく $W$ にしてしまう誤り（符号が逆になる）。正しくは跳びの条件 $\partial_{x} G (s + 0, s) - \partial_{x} G (s - 0, s) = - \frac{1}{p ( s )}$ から $C = - p W$ 。例えば $- y^{''} = f$ , $y (0) = y (1) = 0$ では $u_{1} = x$ , $u_{2} = 1 - x$ , $W = - 1$ で $G = min (x, s) (1 - max (x, s)) \geq 0$ となり、 $W$ で割ると $G \leq 0$ の誤った関数になる
$u_{1}, u_{2}$ の役割を入れ替えてしまう誤り。 $x < s$ の側（左側）に使うのは左端の条件をみたす $u_{1} (x)$ 、 $x > s$ の側に使うのは右端の条件をみたす $u_{2} (x)$ 。上の例で $x < s$ に $u_{2} (x) = 1 - x$ を使うと $G (0, s) \neq = 0$ となり、左端の条件をみたさない
$p$ が定数でないのに $C = - W$ としてしまう誤り。 $W$ 自体は一般に定数ではなく、定数になるのは $p W$ 。例えば区間 $[1, 2]$ 上の $- (x^{2} y^{'})^{'} = f$ のように $p = x^{2}$ なら、 $W$ を計算したあと必ず $p (x)$ を掛けて定数 $C = - p (x) W (x)$ を求める
$0$ が固有値のときにもグリーン関数を作ろうとしてしまう誤り。例えば $- y^{''} = f$ , $y^{'} (0) = y^{'} (1) = 0$ では定数関数が $f = 0$ の $0$ でない解になり、左端・右端の条件をみたす解がどちらも定数で $W = 0$ となるので、この方法の $G$ は存在しない（解が存在するのは $\int_{0}^{1} f d s = 0$ のときに限られ、しかも定数の分だけ一意でない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
区間 $[0, 2]$ 上の連続関数 $f (x)$ に対して、境界値問題
$- y^{''} = f (x) (0 \leq x \leq 2), y (0) = 0, y (2) = 0$
を考える。この問題の解は、 $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq s \leq 2$ で定義された連続関数 $G (x, s)$ （グリーン関数）を用いて、どんな連続関数 $f$ に対しても
$y (x) = \int_{0}^{2} G (x, s) f (s) d s$
と表される。 $0 \leq s \leq x \leq 2$ のときの $G (x, s)$ を $x, s$ の式で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
区間 $0 \leq x \leq 1$ 上で、微分作用素 $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}} + 4$ に対する境界値問題
$- \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + 4 y = f (x), y (0) = 0, \frac{d y}{d x} (1) = 0$
を考える。まず、 $0 < x^{'} < 1$ に対して
$(- \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + 4) G (x, x^{'}) = δ (x - x^{'}), G (0, x^{'}) = 0, \frac{\partial G}{\partial x} (1, x^{'}) = 0$
を満たすグリーン関数 $G (x, x^{'})$ を求める。次に、それを用いて $f (x) = 1$ （ $0 \leq x \leq 1$ で一様な源）のときの解 $y (x) = \int_{0}^{1} G (x, x^{'}) f (x^{'}) d x^{'}$ を考える。このときの $y (1)$ の値を求めよ。答えは $e$ （自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

この技能の次に学べること

自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）