物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

斉次解の選び方

$-u^{\prime \prime }+4u=0$ の解は $\cosh 2x,\sinh 2x$ の 1 次結合である。左端の条件 $u(0)=0$ を満たす解として
$$u_1(x)=\sinh 2x$$
を、右端の条件 $u^{\prime }(1)=0$ を満たす解として
$$u_2(x)=\cosh (2(1-x))$$
をとる（$u_2^{\prime }(x)=-2\sinh (2(1-x))$ なので $u_2^{\prime }(1)=0$）。

グリーン関数の構成

$x\ne x^{\prime }$ では $G$ は斉次方程式を満たす。$x<x^{\prime }$ 側では左端の条件、$x>x^{\prime }$ 側では右端の条件を満たす必要がある。さらに $x=x^{\prime }$ で $G$ は連続でなければならない。よって、$x_{<}=\min (x,x^{\prime })$、$x_{>}=\max (x,x^{\prime })$ として
$$G(x,x^{\prime })=\frac{u_1(x_{<})u_2(x_{>})}{C}$$
とおける。方程式 $-G^{\prime \prime }+4G=\delta (x-x^{\prime })$ を $x^{\prime }-\epsilon$ から $x^{\prime }+\epsilon$ まで積分して $\epsilon \to 0$ とすると、導関数の跳びの条件
$$\frac{\partial G}{\partial x}{|}_{x=x^{\prime }+0}-\frac{\partial G}{\partial x}{|}_{x=x^{\prime }-0}=-1$$
を得る。左辺は $\frac{u_1(x^{\prime })u_2^{\prime }(x^{\prime })-u_1^{\prime }(x^{\prime })u_2(x^{\prime })}{C}=\frac{W}{C}$ である。ここでロンスキアン $W$ は
$$W=\sinh 2x^{\prime }\cdot (-2\sinh (2(1-x^{\prime })))-2\cosh 2x^{\prime }\cosh (2(1-x^{\prime }))=-2\cosh (2x^{\prime }+2(1-x^{\prime }))=-2\cosh 2$$
となり、$x^{\prime }$ によらない。よって $C=-W=2\cosh 2$ であり、
$$G(x,x^{\prime })=\frac{\sinh (2x_{<})\cosh (2(1-x_{>}))}{2\cosh 2}.$$

$y(1)$ の計算

$x=1$ では、すべての $x^{\prime }\in [0,1]$ について $x_{<}=x^{\prime }$、$x_{>}=1$ となる。$\cosh 0=1$ なので
$$G(1,x^{\prime })=\frac{\sinh 2x^{\prime }}{2\cosh 2}.$$
したがって
$$y(1)={\int }_0^1\frac{\sinh 2x^{\prime }}{2\cosh 2}d{x}^{\prime }=\frac{1}{2\cosh 2}\cdot \frac{\cosh 2-1}{2}=\frac{\cosh 2-1}{4\cosh 2}.$$
$\cosh 2=\frac{e^2+e^{-2}}{2}$ を代入し、分母と分子に $2e^2$ を掛けると
$$y(1)=\frac{e^4-2e^2+1}{4(e^4+1)}=\frac{(e^2-1{)}^2}{4(e^4+1)}.$$

検算

直接解くと、特解 $\frac{1}{4}$ と斉次解を合わせて $y=\frac{1}{4}+A\cosh 2x+B\sinh 2x$ となる。$y(0)=0$ より $A=-\frac{1}{4}$ である。$y^{\prime }(1)=0$ より $B=\frac{1}{4}\tanh 2$ である。これらから
$$y(1)=\frac{1}{4}-\frac{\cosh 2}{4}+\frac{{\sinh }^{2}2}{4\cosh 2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\cosh 2}$$
となり、上の結果と一致する。数値では $y(1)\approx 0.1836$ である。

答え：$\frac{(e^2-1{)}^2}{4(e^4+1)}$

グリーン関数を経由せずに、同じ境界値問題を直接解いて確かめる。$G$ は $L$ とこの境界条件に対するグリーン関数なので、$y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })\cdot 1d{x}^{\prime }$ はこの境界値問題の解と一致する。

特解は $y=1/4$ である。一般解は $y=\frac{1}{4}+A{e}^{2x}+B{e}^{-2x}$ とおける。

境界条件 $y(0)=0$ より $\frac{1}{4}+A+B=0$。
境界条件 $y^{\prime }(1)=0$ より $2A{e}^2-2B{e}^{-2}=0$、すなわち $B=A{e}^4$。

これを解くと $A=-\frac{1}{4(1+e^4)}$、$B=-\frac{e^4}{4(1+e^4)}$ となる。

よって $y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{\cosh 2(1-x)}{\cosh 2}\right)$ である。

$x=1$ を代入すると
$y(1)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\cosh 2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{e^2}{2(1+e^4)}=\frac{(e^2-1{)}^2}{4(1+e^4)}$。

検算：$\cosh 2=\frac{1+e^4}{2e^2}$ なので $\frac{1}{\cosh 2}=\frac{2e^2}{1+e^4}$ となり、上の式と一致する。数値では $e^2\approx 7.389$、$e^4\approx 54.598$ なので $y(1)\approx 0.25-0.0666=0.1834$ となる。