物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

時間の単位を適当にとり、減衰振動子の方程式
$$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f(t),\gamma =6,{\omega }_0=5$$
を考える。フーリエ変換を $x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\tilde{x}(\omega )e^{-i\omega t}$ で定義すると、グリーン関数（$f(t)=\delta (t)$ に対する解）は
$$G(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\omega }{2\pi }\frac{e^{-i\omega t}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
と書ける。この積分を留数定理で計算して得られる遅延グリーン関数（$t<0$ で $G(t)=0$ となるもの）について、$t=\frac{\pi }{8}$ での値 $G\left(\frac{\pi }{8}\right)$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上の実数値関数 $\varphi (x)$（2 回微分可能で $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ をみたすもの）に対して、汎関数
$$F[\varphi ]={\int }_0^1\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2-x\varphi (x)\right]dx$$
を考える。汎関数微分 $\frac{\delta F}{\delta \varphi (x)}$ が $0<x<1$ で $0$ になる停留関数 ${\varphi }_0$ に対する停留値 $F[{\varphi }_0]$ を求めよ。

$D>0$, $a>0$ を定数とする。半無限領域 $x>0$ での拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x>0,t>0)$$
を、吸収壁の境界条件 $u(0,t)=0$ と初期条件 $u(x,0)=\delta (x-a)$（$x=a$ に総量 $1$ の粒子を置く）のもとで考える。全空間の熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}{e}^{-x^2/4Dt}$$
は既知としてよい。時刻 $t=\frac{a^2}{D}$ における、粒子を置いた位置 $x=a$ での濃度 $u\left(a,\frac{a^2}{D}\right)$ を $a$ を用いて表せ。

区間 $0\le x\le 1$ での境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x),y(0)=y(1)=0$$
を考える。このグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$（$-{\partial }_x^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })$, $G(0,x^{\prime })=G(1,x^{\prime })=0$ をみたすもの）は閉じた形で
$$G(x,x^{\prime })=\{\begin{array}{ll}x(1-x^{\prime })& (0\le x\le x^{\prime })\\ x^{\prime }(1-x)& (x^{\prime }\le x\le 1)\end{array}$$
と表される。一方、固有値問題 $-{\varphi }^{\prime \prime }=\lambda \varphi$, $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x=x^{\prime }=\frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2(n\pi /3)}{n^2}$$
の値を求めよ。