ガウスの発散定理

$\iint_{S} F \cdot n d S = ∭_{V} \nabla \cdot F d V$ を使って、閉曲面を通る外向きの流束を体積積分に直して求められる（円柱・球・四面体などの領域で）

前提

面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ガウスの発散定理を使うと、閉じた曲面 $S$ を外向きに通り抜ける流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ を、 $S$ が囲む立体 $V$ 上の体積積分 $∭_{V} \nabla \cdot F d V$ に置き換えて計算できます。円柱の側面・上面・底面のように、いくつもの面に分けて面積分するのは手間がかかります。発散 $\nabla \cdot F$ を一度計算して体積で積分すれば、1 回で済むことが多くなります。流体の湧き出し量や電場の流束（ガウスの法則）などの計算で使います。

なぜそうしてよいのか

まず $V$ が直方体 $a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, e \leq z \leq f$ の場合を考えます。 $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ のうち $F_{1}$ が流束に効くのは、 $x$ 軸に垂直な 2 面だけです。面 $x = b$ では外向き法線が $(1, 0, 0)$ 、面 $x = a$ では $(- 1, 0, 0)$ なので、この 2 面の流束の和は $\iint (F_{1} (b, y, z) - F_{1} (a, y, z)) d y d z = \iint (\int_{a}^{b} \frac{\partial F _{1}}{\partial x} d x) d y d z = ∭_{V} \frac{\partial F _{1}}{\partial x} d V$ となります。ここで使ったのは微分積分学の基本定理（定積分の計算）だけです。 $F_{2}, F_{3}$ も同様に扱えるので、6 面全体の外向き流束は $∭_{V} (\frac{\partial F _{1}}{\partial x} + \frac{\partial F _{2}}{\partial y} + \frac{\partial F _{3}}{\partial z}) d V = ∭_{V} \nabla \cdot F d V$ です。

一般の立体は、小さな直方体をたくさん集めたものとして近似できます。隣り合う 2 つの小箱が共有する面では、片方の外向き法線ともう片方の外向き法線が逆向きです。そのため、その面を通る流束は打ち消し合います。足し合わせると外側の表面 $S$ の流束だけが残り、各小箱の $\nabla \cdot F Δ V$ の和が体積積分になります。直観的には、 $\nabla \cdot F$ は各点での単位体積あたりの湧き出しの強さです。中で湧き出した総量は、表面から外へ出ていく総量に等しい、というのがこの定理の意味です。

成り立つ条件は次のとおりです。 $S$ は立体 $V$ を囲む閉曲面（円柱や四面体のような角や辺があってもよい）で、法線 $n$ は外向きです。また $F$ は $V$ の内部と境界を含めて偏微分が連続でなければなりません。 $V$ の中に $F$ が定義されない点（たとえば原点で分母が 0 になる点）があると、この定理はそのままでは使えません。

手順

条件を確かめる: $S$ が立体 $V$ を囲む閉曲面であること、法線が外向きであること、 $F$ が $V$ 全体（境界を含む）でなめらかであることを確認する
発散を計算する: $\nabla \cdot F = \frac{\partial F _{1}}{\partial x} + \frac{\partial F _{2}}{\partial y} + \frac{\partial F _{3}}{\partial z}$
立体 $V$ の範囲を不等式で表し、計算しやすい座標を選ぶ。円柱なら $x = r cos θ, y = r sin θ$ で $d V = r d r d θ d z$ 、球なら $d V = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ$ のように、ヤコビアンを付ける
体積積分 $∭_{V} \nabla \cdot F d V$ を累次積分で計算する。これが外向きの流束になる（内向きの流束を問われたら符号を反転する）

例題

ベクトル場 $F = (x, y, z^{2})$ と、円柱 $V : x^{2} + y^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq 2$ の表面全体 $S$ （側面・上面・底面）を考える。 $S$ を外向きに通る流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $S$ は円柱 $V$ を囲む閉曲面で、法線は外向きです。 $F$ の成分は多項式なので $V$ 全体でなめらかです。したがって発散定理が使えます。

【手順 2】 $\nabla \cdot F = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial ( z ^{2} )}{\partial z} = 1 + 1 + 2 z = 2 + 2 z$ です。

【手順 3】円柱なので円柱座標 $x = r cos θ, y = r sin θ, z = z$ を使います。範囲は $0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 2$ で、 $d V = r d r d θ d z$ です。

【手順 4】 $∭_{V} (2 + 2 z) d V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (2 + 2 z) r d r d θ d z$ となります。 $r$ の積分は $\int_{0}^{1} r d r = \frac{1}{2}$ 、 $θ$ の積分は $2 π$ なので、内側の 2 つの積分で $π$ になります。よって $π \int_{0}^{2} (2 + 2 z) d z = π [2 z + z^{2}]_{0}^{2} = π (4 + 4) = 8 π$ です。

（検算）直接面積分しても同じ値になります。側面では $n = (x, y, 0)$ なので $F \cdot n = x^{2} + y^{2} = 1$ で、面積 $4 π$ をかけて $4 π$ です。上面 $z = 2$ では $F \cdot n = z^{2} = 4$ で、面積 $π$ をかけて $4 π$ です。底面 $z = 0$ では $F \cdot n = - z^{2} = 0$ です。合計は $8 π$ で一致します。

答え: $8 π$

よくある誤り

円柱座標や球座標に直すときにヤコビアンを落としてしまう誤り。例題で $\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (2 + 2 z) d r d θ d z = 16 π$ としてはいけない。正しくは $d V = r d r d θ d z$ で、答えは $8 π$ （球座標なら $ρ^{2} sin φ$ を付ける）。
閉じていない曲面（たとえば円柱の側面だけ、半球面だけ）にそのまま発散定理を当てはめてしまう誤り。正しくは、ふた（底面など）を付けて閉曲面にし、 $\iint_{側面} = ∭_{V} \nabla \cdot F d V - \iint_{ふた}$ のように、ふたの外向き流束を差し引く。
$V$ の内部に $F$ が定義されない点があるのに定理を使ってしまう誤り。例えば $F = \frac{( x , y , z )}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ は原点以外で $\nabla \cdot F = 0$ だが、単位球面の外向き流束は $0$ ではない。正しくは、球面上で $F \cdot n = 1$ なので $4 π$ である。
内向きの流束を問われているのに体積積分の値をそのまま答えてしまう誤り。発散定理が与えるのは外向き法線での流束なので、正しくは内向きの流束 $= - ∭_{V} \nabla \cdot F d V$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラプラシアンの基本解と放射関数の超関数ラプラシアン（大学院数学フーリエ解析）