ベクトル解析の問題

方針. $\mathbf{F}$ は ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上でしか定められておらず、$k$ によっては原点の近くで有界でもないので、$V$ に直接発散定理を使うことはできない。そこで原点のまわりの小さな閉球を取り除いた領域 $V_{\epsilon }=V\setminus \overline{B_{\epsilon }}$ に発散定理を適用し、得られた等式で $\epsilon \to +0$ とする。

1. $\mathbf{F}$ の滑らかさと発散. ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ では $r>0$ であり、$r$ は $C^{\infty }$ 級で $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}$ が成り立つ。$t\mapsto t^k$ は $t>0$ で $C^{\infty }$ 級なので、$r^k$ も ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上で $C^{\infty }$ 級であり、$\mathbf{F}=(x{r}^k,y{r}^k,z{r}^k)$ は ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の $C^1$ 級ベクトル場である。積の微分法則と合成関数の微分法より
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(x{r}^k\right)=r^k+x\cdot k{r}^{k-1}\cdot \frac{x}{r}=r^k+k{x}^2{r}^{k-2}.$$
$y,z$ についても、$x$ を $y$, $z$ に置き換えるだけで同じ計算になる（$r$ は $x,y,z$ について対称な式だから）ので
$$\frac{\partial }{\partial y}\left(y{r}^k\right)=r^k+k{y}^2{r}^{k-2},\frac{\partial }{\partial z}\left(z{r}^k\right)=r^k+k{z}^2{r}^{k-2}.$$
足し合わせて $x^2+y^2+z^2=r^2$ を使うと
$$\nabla \cdot \mathbf{F}=3r^k+k{r}^{k-2}(x^2+y^2+z^2)=(k+3)r^k(\mathbf{r}\ne 0).(1)$$

2. 領域 $V_{\epsilon }$ と発散定理の仮定. $V$ は開集合で $0\in V$ なので、ある $\rho >0$ があって開球 $\{r<\rho \}$ が $V$ に含まれる。${\epsilon }_0=\rho /2$ とおくと $\overline{B_{{\epsilon }_0}}\subset V$ である。$0<\epsilon \le {\epsilon }_0$ に対して $V_{\epsilon }=V\setminus \overline{B_{\epsilon }}$ とおく。$V_{\epsilon }$ は開集合から閉集合を除いたものなので開集合であり、$V$ に含まれるので有界である。

$V_{\epsilon }$ の境界を調べる。球面 $S_{\epsilon }=\{\mathbf{r}:r=\epsilon \}$ とおく。$\overline{B_{\epsilon }}$ は $V$ の内部の開球 $\{r<\rho \}$ に含まれるので、$\{r<\rho \}$ の外では $V_{\epsilon }$ と $V$ は一致し、$\{r<\rho \}$ の中では $V_{\epsilon }=\{\epsilon <r<\rho \}$ である。したがって $\partial V_{\epsilon }=S\cup S_{\epsilon }$ となる。ここで $S_{\epsilon }\subset V$ であり、$V$ は開集合なのでその境界 $S$ と交わらない（$S\cap V=\varnothing$）から、$S$ と $S_{\epsilon }$ は交わらない。仮定より $S$ は互いに交わらない有限個の区分的に滑らかな閉曲面からなり、$S_{\epsilon }$ は滑らかな閉曲面なので、$\partial V_{\epsilon }$ は互いに交わらない有限個の区分的に滑らかな閉曲面からなる。

また $\overline{V_{\epsilon }}\subset \overline{V}\cap \{r\ge \epsilon \}$ は原点を含まないので、$\mathbf{F}$ は $\overline{V_{\epsilon }}$ を含む開集合 ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上で $C^1$ 級である。よって $V_{\epsilon }$ と $\mathbf{F}$ は発散定理の仮定をみたす。

3. 外向き法線. $V_{\epsilon }$ の外向き単位法線 $\mathbf{\nu }$ は、$S$ 上では $V$ の外向き法線 $\mathbf{n}$ と一致する（$S$ の近く、すなわち $\{r<\rho \}$ の外では $V_{\epsilon }$ と $V$ は同じ集合だから）。$S_{\epsilon }$ 上では $V_{\epsilon }$ は球の外側 $\{\epsilon <r<\rho \}$ にあるので、$V_{\epsilon }$ の外へ向かう向きは原点に向かう向きであり、$\mathbf{\nu }=-\frac{\mathbf{r}}{\epsilon }$ である。

4. 発散定理の適用. $(1)$ と発散定理より
$$(k+3){\iiint }_{V_{\epsilon }}{r}^{k}dV={\iiint }_{V_{\epsilon }}\nabla \cdot \mathbf{F}dV={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS-{\iint }_{S_{\epsilon }}\mathbf{F}\cdot \frac{\mathbf{r}}{\epsilon }dS.(2)$$

5. 小さな球面上の流束. $S_{\epsilon }$ 上では $r=\epsilon$ なので
$$\mathbf{F}\cdot \frac{\mathbf{r}}{\epsilon }={\epsilon }^k\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}}{\epsilon }={\epsilon }^k\cdot \frac{{\epsilon }^2}{\epsilon }={\epsilon }^{k+1}$$
であり、これは $S_{\epsilon }$ 上で一定である。球面の面積は $4\pi {\epsilon }^2$ なので
$${\iint }_{S_{\epsilon }}\mathbf{F}\cdot \frac{\mathbf{r}}{\epsilon }dS={\epsilon }^{k+1}\cdot 4\pi {\epsilon }^2=4\pi {\epsilon }^{k+3}.$$

6. 極限. $k+3>0$ なので $k+3\ne 0$ であり、$(2)$ から $0<\epsilon \le {\epsilon }_0$ のとき
$${\iiint }_{V_{\epsilon }}{r}^{k}dV=\frac{1}{k+3}\left({\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS-4\pi {\epsilon }^{k+3}\right).$$
右辺の ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ は $\epsilon$ によらない定数であり、$k+3>0$ より $\epsilon \to +0$ のとき ${\epsilon }^{k+3}\to 0$ である。したがって左辺の極限は存在して
$${\iiint }_V{r}^{k}dV=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\iiint }_{V_{\epsilon }}{r}^{k}dV=\frac{1}{k+3}{\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS.$$
$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=r^k(\mathbf{r}\cdot \mathbf{n})$ なので、両辺に $k+3$ を掛けて
$${\iint }_S{r}^k(\mathbf{r}\cdot \mathbf{n})dS=(k+3){\iiint }_V{r}^{k}dV$$
が成り立つ。$■$

（注: $k=-3$ のときは $(1)$ より発散が $0$ になる一方、小さな球面上の流束は $4\pi {\epsilon }^0=4\pi$ のまま $0$ に近づかない。$k>-3$ という条件は、手順 6 で球面上の流束が $0$ に近づくために必要である。）