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ベクトル解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のベクトル場
$F (x, y, z) = (x z + e^{y^{2}}, y z + sin x, z^{2} + x^{2} + y^{2})$
と、球面の一部
$S = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9, z \geq 1}$
を考える。 $S$ の単位法線ベクトル $n$ を原点から遠ざかる向き（球の外向き）にとるとき、面積分
$\iint_{S} F \cdot n d S$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ガウスの発散定理（説明と入口の問題）
勾配・発散・回転（説明と入口の問題）
重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S$ は閉じていないので、そのままでは発散定理が使えません。平面 $z = 1$ 上の円板でふたをして閉曲面にし、ふたの分を後で引きましょう。

ヒント 2

$div F = 4 z$ です。ふた $D : x^{2} + y^{2} \leq 8, z = 1$ 上の外向き法線は $(0, 0, - 1)$ で、 $F \cdot n = - (1 + x^{2} + y^{2})$ になります。

ヒント 3

体積分は断面積 $π (9 - z^{2})$ を使って $∭_{V} 4 z d V = 4 π \int_{1}^{3} z (9 - z^{2}) d z = 64 π$ となります。残りはふたでの面積分を極座標で計算します。

答えと解説

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104 π

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解説を読む

$S$ は閉曲面ではないので、平面 $z = 1$ 上の円板
$D = {(x, y, 1) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 8}$
でふたをする（ $z = 1$ のとき $x^{2} + y^{2} = 9 - 1 = 8$ ）。 $S$ と $D$ を合わせた閉曲面は、領域
$V = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, z \geq 1}$
の境界になる。 $D$ 上の $V$ の外向き単位法線は $n = (0, 0, - 1)$ である。

発散定理の適用

$F$ の成分は空間全体で $C^{1}$ 級で、 $V$ は区分的に滑らかな閉曲面で囲まれた有界領域なので、ガウスの発散定理
$\iint_{S} F \cdot n d S + \iint_{D} F \cdot n d S = ∭_{V} div F d V$
が成り立つ。
$div F = \frac{\partial}{\partial x} (x z + e^{y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (y z + sin x) + \frac{\partial}{\partial z} (z^{2} + x^{2} + y^{2}) = z + z + 2 z = 4 z .$

体積分

高さ $z$ $(1 \leq z \leq 3)$ での $V$ の断面は半径 $9 - z^{2}$ の円板で、面積は $π (9 - z^{2})$ 。よって
$∭_{V} 4 z d V = 4 \int_{1}^{3} z \cdot π (9 - z^{2}) d z = 4 π [\frac{9 z ^{2}}{2} - \frac{z ^{4}}{4}]_{1}^{3} = 4 π {(\frac{81}{2} - \frac{81}{4}) - (\frac{9}{2} - \frac{1}{4})} = 4 π (\frac{81}{4} - \frac{17}{4}) = 64 π .$

ふた $D$ での面積分

$D$ 上では $z = 1$ で $F \cdot n = - (z^{2} + x^{2} + y^{2}) = - (1 + x^{2} + y^{2})$ 。極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ を使うと
$\iint_{D} F \cdot n d S = - \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{22} (1 + r^{2}) r d r d θ = - 2 π [\frac{r ^{2}}{2} + \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{22} = - 2 π (4 + 16) = - 40 π .$

まとめ
$\iint_{S} F \cdot n d S = 64 π - (- 40 π) = 104 π .$

別解

$S$ に底面の円板 $D = {z = 1, x^{2} + y^{2} \leq 8}$ を加えて閉曲面とし、ガウスの発散定理を使う。

$\nabla \cdot F = z + z + 2 z = 4 z$ 。領域 $V = {x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 9, z \geq 1}$ で、高さ $z$ の断面は半径 $9 - z^{2}$ の円なので
$∭_{V} 4 z d V = \int_{1}^{3} 4 z \cdot π (9 - z^{2}) d z = 4 π [\frac{9 z ^{2}}{2} - \frac{z ^{4}}{4}]_{1}^{3} = 4 π (\frac{81}{4} - \frac{17}{4}) = 64 π .$

$D$ での外向き法線は $- k$ 。 $z = 1$ で $F \cdot (- k) = - (z^{2} + x^{2} + y^{2}) = - (1 + r^{2})$ 。
$\iint_{D} F \cdot n d S = - \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{22} (1 + r^{2}) r d r d θ = - 2 π [\frac{r ^{2}}{2} + \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{22} = - 2 π (4 + 16) = - 40 π .$

よって $\iint_{S} F \cdot n d S = 64 π - (- 40 π) = 104 π$ 。

検算: $S$ 上で球面座標 $z = 3 cos ϕ$ （ $0 \leq ϕ \leq arccos (1/3)$ ）として、 $e^{y^{2}}$ と $sin x$ の項は $x, y$ の偶奇性や発散への寄与がなく、発散定理の計算（ $F_{1}, F_{2}$ の $x, y$ 依存項は発散 $0$ で円板上の法線成分も $0$ ）と矛盾しない。

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