面積分と流束

向きのついた曲面について、 $\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$ で流束を計算でき、法線の向き（上向き・外向き）に合わせて符号を決められる

前提

曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

この技能までの道筋（75 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

説明

向きのついた曲面 $S$ を、ベクトル場 $F$ （流体の速度場や電場など）がどれだけ「貫いて流れるか」を表す量が流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ です。この技能を身につけると、曲面の媒介変数表示 $r (u, v)$ から法線ベクトル $r_{u} \times r_{v}$ を作り、流束を $(u, v)$ の重積分に直して計算できます。また、指定された向き（上向き・外向きなど）に合わせて符号を正しく決められるようになります。流体の流量や電磁気学のガウスの法則など、物理で頻繁に使われます。

なぜそうしてよいのか

曲面 $S$ を小さな面片に分けて考えます。各面片で単位法線ベクトル $n$ （長さ 1 で、決めた向きを向くもの）をとると、 $F \cdot n$ は $F$ のうち面を垂直に貫く成分です。これに面片の面積 $d S$ を掛けたものが、その面片を通り抜ける量になり、全部足したものが流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ です。面に平行な成分は面を通り抜けないので数えません。

前提の技能で学んだように、曲面を $r (u, v)$ , $(u, v) \in D$ で表すと、 $N = r_{u} \times r_{v}$ は曲面に垂直で、面積要素は $d S = ∣ N ∣ d u d v$ です。 $N$ が指定された向きを向いているなら $n = \frac{N}{∣ N ∣}$ なので
$F \cdot n d S = F \cdot \frac{N}{∣ N ∣} ∣ N ∣ d u d v = F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$
となり、厄介な $∣ N ∣$ （根号）が約分されて消えます。これが公式 $\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$ の理由です。

ただし $r_{u} \times r_{v}$ の向きは、媒介変数の順序や取り方で決まり、指定された向きと逆になることがあります（外積は $r_{v} \times r_{u} = - r_{u} \times r_{v}$ ）。逆向きなら $n = - N /∣ N ∣$ なので、結果の符号を反転します。たとえば $z = f (x, y)$ を $r (x, y) = (x, y, f (x, y))$ と表すと $r_{x} \times r_{y} = (- f_{x}, - f_{y}, 1)$ で、 $z$ 成分が正なので常に上向きです。

手順

曲面 $S$ を媒介変数表示 $r (u, v)$ , $(u, v) \in D$ で表し、範囲 $D$ を決める（ $z = f (x, y)$ なら $r (x, y) = (x, y, f (x, y))$ ）
$r_{u}, r_{v}$ を計算し、外積 $N = r_{u} \times r_{v}$ を求める
$N$ が指定された向き（上向きなら $z$ 成分が正、外向きなら曲面の外側）を向いているか確かめ、逆なら $N$ を $- N$ に取り替える
$F$ の $x, y, z$ に $r (u, v)$ の成分を代入し、内積 $F (r (u, v)) \cdot N$ を $u, v$ の式にする
$\iint_{D} F (r (u, v)) \cdot N d u d v$ を重積分として計算する（必要なら極座標などに変数変換し、ヤコビアンを掛ける）

例題

曲面 $S : z = 4 - x^{2} - y^{2} (z \geq 0)$ に上向きの法線で向きをつける。ベクトル場 $F = (x, y, z)$ の $S$ を通る流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $r (x, y) = (x, y, 4 - x^{2} - y^{2})$ と表す。 $z \geq 0$ より $x^{2} + y^{2} \leq 4$ なので $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4}$ 。

手順2: $r_{x} = (1, 0, - 2 x)$ , $r_{y} = (0, 1, - 2 y)$ より
$N = r_{x} \times r_{y} = (0 \cdot (- 2 y) - (- 2 x) \cdot 1, (- 2 x) \cdot 0 - 1 \cdot (- 2 y), 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (2 x, 2 y, 1) .$

手順3: $z$ 成分が $1 > 0$ なので $N$ は上向き。指定どおりなので符号はそのまま。

手順4: $F (r (x, y)) = (x, y, 4 - x^{2} - y^{2})$ なので
$F \cdot N = 2 x^{2} + 2 y^{2} + (4 - x^{2} - y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 4.$

手順5: 極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ （ $0 \leq r \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π$ 、ヤコビアン $r$ ）で
$\iint_{D} (x^{2} + y^{2} + 4) d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (r^{2} + 4) r d r d θ = 2 π [\frac{r ^{4}}{4} + 2 r^{2}]_{0}^{2} = 2 π (4 + 8) = 24 π .$
よって流束は $24 π$ 。

答え: $24 π$

よくある誤り

$F \cdot (r_{u} \times r_{v})$ にさらに $d S = ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ を掛けて $\iint_{D} F \cdot N ∣ N ∣ d u d v$ としてしまう誤り。正しくは $n d S = N d u d v$ なので、 $∣ N ∣$ は掛けず $\iint_{D} F (r (u, v)) \cdot N d u d v$ とする。
外積の向きを確かめずに計算し、符号を逆にしてしまう誤り。例えば半径 $a$ の球面 $r (θ, φ) = (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ)$ では $r_{θ} \times r_{φ} = a sin θ r$ が外向きだが、 $r_{φ} \times r_{θ}$ を使うと内向きになる。外向き指定なら、内向きの外積を使った場合は結果に $- 1$ を掛ける。
$F$ に曲面の式を代入し忘れ、 $z$ を独立な変数のまま残してしまう誤り。例題では $F \cdot N = 2 x^{2} + 2 y^{2} + z$ のままでは積分できず、正しくは $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ を代入して $x^{2} + y^{2} + 4$ とする。
極座標に直すときヤコビアン $r$ を落とし、 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (r^{2} + 4) d r d θ$ としてしまう誤り。正しくは $d x d y = r d r d θ$ で $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (r^{2} + 4) r d r d θ$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウスの発散定理（大学数学ベクトル解析）
ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））