この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

ベクトル解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間の円錐面の一部
$S = {(x, y, z) z = x^{2} + y^{2}, 0 \leq z \leq 2}$
を考える（ $S$ は側面だけで、上の円板 $z = 2, x^{2} + y^{2} \leq 4$ は含まない）。 $S$ の向きを、頂点 $(0, 0, 0)$ を除く各点で単位法線ベクトル $n$ の $z$ 成分が正となるように定める（頂点では法線が定まらないが、1 点なので面積分の値には影響しない）。ベクトル場
$F (x, y, z) = (x z, y, z^{2})$
の $S$ を通る流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ を求めよ。

この問題で使うもの

面積分と流束（説明と入口の問題）
曲面の媒介変数表示と面積要素（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）
ガウスの発散定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$S$ を $x y$ 平面の円板 $x^{2} + y^{2} \leq 4$ 上のグラフ $z = x^{2} + y^{2}$ とみて、 $n d S$ を $d x d y$ で表そう。

ヒント 2

グラフ $z = g (x, y)$ で上向きの向きなら $n d S = (- g_{x}, - g_{y}, 1) d x d y$ 。ここでは $g_{x} = \frac{x}{ρ}$ , $g_{y} = \frac{y}{ρ}$ （ $ρ = x^{2} + y^{2}$ ）。

ヒント 3

被積分関数は $- x^{2} - \frac{y ^{2}}{ρ} + ρ^{2}$ となり、極座標では $(ρ^{2} - ρ) sin^{2} θ$ になる。 $d x d y = ρ d ρ d θ$ を忘れずに積分しよう。

答えと解説

答えを見る

\frac{4 π}{3}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$S$ は $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4}$ 上のグラフ $z = g (x, y) = x^{2} + y^{2}$ である（原点の 1 点では微分できないが、面積分の値には影響しない）。 $ρ = x^{2} + y^{2}$ とおくと
$g_{x} = \frac{x}{ρ}, g_{y} = \frac{y}{ρ} .$
グラフ曲面で $z$ 成分が正の向きを選ぶと
$n d S = (- g_{x}, - g_{y}, 1) d x d y = (- \frac{x}{ρ}, - \frac{y}{ρ}, 1) d x d y .$

$S$ 上では $z = ρ$ なので $F = (x ρ, y, ρ^{2})$ であり
$F \cdot (- g_{x}, - g_{y}, 1) = - x^{2} - \frac{y ^{2}}{ρ} + ρ^{2} .$

極座標 $x = ρ cos θ, y = ρ sin θ$ （ $0 \leq ρ \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π$ 、 $d x d y = ρ d ρ d θ$ ）に直すと
$- ρ^{2} cos^{2} θ - ρ sin^{2} θ + ρ^{2} = ρ^{2} sin^{2} θ - ρ sin^{2} θ = (ρ^{2} - ρ) sin^{2} θ .$
よって
$\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ \int_{0}^{2} (ρ^{2} - ρ) ρ d ρ = π [\frac{ρ ^{4}}{4} - \frac{ρ ^{3}}{3}]_{0}^{2} = π (4 - \frac{8}{3}) = \frac{4 π}{3} .$

（検算: 円錐面と円板 $z = 2, x^{2} + y^{2} \leq 4$ で囲まれる領域 $V = {ρ \leq z \leq 2}$ に発散定理を使う。 $\nabla \cdot F = z + 1 + 2 z = 3 z + 1$ で、高さ $z$ の断面積は $π z^{2}$ なので $∭_{V} (3 z + 1) d V = π \int_{0}^{2} (3 z^{3} + z^{2}) d z = π (12 + \frac{8}{3}) = \frac{44 π}{3}$ 。上面（上向き）の流束は $z^{2} = 4$ に面積 $4 π$ を掛けて $16 π$ 。円錐面での $V$ の外向きは下向きなので、求める流束を $Φ$ とすると $\frac{44 π}{3} = 16 π - Φ$ より $Φ = \frac{4 π}{3}$ となり一致する。）

別解

$S$ を $z = g (x, y) = x^{2} + y^{2}$ （ $x^{2} + y^{2} \leq 4$ ）のグラフとみなす。 $z$ 成分が正の法線は $n d S = (- g_{x}, - g_{y}, 1) d x d y$ 。 $g_{x} = x / r$ 、 $g_{y} = y / r$ （ $r = x^{2} + y^{2}$ ）。

$F \cdot (- g_{x}, - g_{y}, 1) = - \frac{x \cdot x z}{r} - \frac{y \cdot y}{r} + z^{2}$ 。 $z = r$ を代入して $= - x^{2} - \frac{y ^{2}}{r} + r^{2}$ 。

極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ で $- r^{2} cos^{2} θ - r sin^{2} θ + r^{2}$ 。 $θ$ で $0$ から $2 π$ まで積分すると $- π r^{2} - π r + 2 π r^{2} = π r^{2} - π r$ 。

$\int_{0}^{2} (π r^{2} - π r) r d r = π [\frac{r ^{4}}{4} - \frac{r ^{3}}{3}]_{0}^{2} = π (4 - \frac{8}{3}) = \frac{4 π}{3}$ 。

検算（発散定理）: 円錐の内部領域 $V = {r \leq z \leq 2}$ と上面 $z = 2$ の円板 $D$ を考える。 $\nabla \cdot F = z + 1 + 2 z = 3 z + 1$ 。 $∭_{V} (3 z + 1) d V = \int_{0}^{2} (3 z + 1) π z^{2} d z = π (3 \cdot 4 + 8/3) = \frac{44 π}{3}$ 。 $V$ の外向き境界は、上面 $D$ （外向き $+ z$ ）と側面（外向きは $z$ 成分が負、すなわち指定の向きと逆）。 $D$ 上の流束は $\iint z^{2} d A = 4 \cdot 4 π = 16 π$ 。よって $\frac{44 π}{3} = 16 π - \iint_{S} F \cdot n d S$ より $\iint_{S} = 16 π - \frac{44 π}{3} = \frac{4 π}{3}$ 。一致する。

ベクトル解析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題