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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間の円柱面の一部
$S = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} = 4, 0 \leq z \leq 3}$
を考える（ $S$ は側面だけで、上下の円板は含まない）。 $S$ の向きは、法線ベクトルが $z$ 軸から遠ざかる向き（外向き）とする。ベクトル場
$F (x, y, z) = (x z, y, z)$
の $S$ を通る流束
$\iint_{S} F \cdot n d S$
を求めよ。ただし $n$ は $S$ の外向きの単位法線ベクトルである。必要なら、 $S$ の媒介変数表示 $r (θ, z) = (2 cos θ, 2 sin θ, z)$ （ $0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 3$ ）を用いてよい。

この問題で使うもの

面積分と流束（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（76 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「面積分と流束」の公式 $\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (θ, z)) \cdot (r_{θ} \times r_{z}) d θ d z$ を使います。まず与えられた媒介変数表示で法線ベクトルを求めましょう。

ヒント 2

$r_{θ} = (- 2 sin θ, 2 cos θ, 0)$ , $r_{z} = (0, 0, 1)$ の外積を計算し、それが外向き（ $z$ 軸から遠ざかる向き）かどうかを確かめます。

ヒント 3

$r_{θ} \times r_{z} = (2 cos θ, 2 sin θ, 0)$ は外向きです。被積分関数は $4 z cos^{2} θ + 4 sin^{2} θ$ となるので、これを $0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq z \leq 3$ で積分します。

答えと解説

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30 π

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解説を読む

手順1：曲面を媒介変数で表す。 $S$ は
$r (θ, z) = (2 cos θ, 2 sin θ, z) (0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 3)$
と表せる。

手順2：法線ベクトル $r_{θ} \times r_{z}$ を求める。
$r_{θ} = (- 2 sin θ, 2 cos θ, 0), r_{z} = (0, 0, 1)$
なので
$r_{θ} \times r_{z} = (2 cos θ \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - (- 2 sin θ) \cdot 1, (- 2 sin θ) \cdot 0 - 2 cos θ \cdot 0) = (2 cos θ, 2 sin θ, 0) .$

手順3：向きを確かめる。 このベクトルは点 $(2 cos θ, 2 sin θ, z)$ の $x y$ 成分と同じ向きで、 $z$ 軸から遠ざかる向き、すなわち外向きである。よって符号を変えずにそのまま使える。

手順4： $F (r (θ, z))$ との内積を計算する。 $S$ 上では $x = 2 cos θ, y = 2 sin θ$ なので
$F (r (θ, z)) = (2 z cos θ, 2 sin θ, z) .$
したがって
$F \cdot (r_{θ} \times r_{z}) = 2 z cos θ \cdot 2 cos θ + 2 sin θ \cdot 2 sin θ + z \cdot 0 = 4 z cos^{2} θ + 4 sin^{2} θ .$

手順5：重積分を計算する。
$\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 π} (4 z cos^{2} θ + 4 sin^{2} θ) d θ d z .$
半角の公式より $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ , $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ だから
$\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = π .$
よって内側の積分は $4 π z + 4 π$ となり
$\int_{0}^{3} (4 π z + 4 π) d z = [2 π z^{2} + 4 π z]_{0}^{3} = 18 π + 12 π = 30 π .$

答えは $30 π$ である。

別解

側面の外向き単位法線は $n = (cos θ, sin θ, 0)$ 、面素は $d S = 2 d θ d z$ である。

$F \cdot n = x z cos θ + y sin θ$ で、 $x = 2 cos θ$ 、 $y = 2 sin θ$ を代入すると
$F \cdot n = 2 z cos^{2} θ + 2 sin^{2} θ$ 。

流束は
$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2 π} (2 z cos^{2} θ + 2 sin^{2} θ) \cdot 2 d θ d z$ 。

$\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = π$ より、
$θ$ の積分は $2 z π + 2 π$ 。これに 2 を掛けて $4 π (z + 1)$ 。

$\int_{0}^{3} 4 π (z + 1) d z = 4 π (\frac{9}{2} + 3) = 4 π \cdot \frac{15}{2} = 30 π$ 。

検算として発散定理を使う。 $div F = z + 1 + 1 = z + 2$ なので、閉曲面全体の流束は
$\int_{0}^{3} (z + 2) \cdot 4 π d z = 4 π (4.5 + 6) = 42 π$ 。
上面 $z = 3$ （外向き法線 $(0, 0, 1)$ ）では $F \cdot n = 3$ なので、流束は $3 \cdot 4 π = 12 π$ 。
下面 $z = 0$ （外向き法線 $(0, 0, - 1)$ ）では $F \cdot n = - z = 0$ なので、流束は 0。
側面の流束は $42 π - 12 π = 30 π$ となり、直接計算と一致する。

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