ベクトル解析の問題

方針 6 つの面で 1 つずつ面積分すると手間がかかる。$S$ は直方体 $V$ を囲む閉曲面で、$\mathbf{n}$ は外向きなので、ガウスの発散定理
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV$$
を使って体積積分に直す。$\mathbf{F}$ の成分は多項式なので、$V$ を含む領域でなめらかであり、定理が使える。

ステップ 1：発散を計算する。
$$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial }{\partial x}(x^2+yz)+\frac{\partial }{\partial y}(y^2+xz)+\frac{\partial }{\partial z}(z^2+xy)=2x+2y+2z.$$
$yz$ は $x$ を含まないので $x$ で偏微分すると $0$ になる。$xz$, $xy$ も同様に $0$ になる。

ステップ 2：体積積分を累次積分で計算する。
$${\iiint }_V(2x+2y+2z)dV={\int }_0^3{\int }_0^2{\int }_0^1(2x+2y+2z)dxdydz.$$
項ごとに分けて計算する。
- ${\iiint }_{V}2xdV={\left[x^2\right]}_0^1\cdot 2\cdot 3=1\cdot 6=6$
- ${\iiint }_{V}2ydV=1\cdot {\left[y^2\right]}_0^2\cdot 3=1\cdot 4\cdot 3=12$
- ${\iiint }_{V}2zdV=1\cdot 2\cdot {\left[z^2\right]}_0^3=1\cdot 2\cdot 9=18$

よって
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS=6+12+18=36.$$

発散定理より、流束は ${\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV$ に等しい。
$\nabla \cdot \mathbf{F}={\partial }_x(x^2+yz)+{\partial }_y(y^2+xz)+{\partial }_z(z^2+xy)=2x+2y+2z$。
体積積分は
${\int }_0^1{\int }_0^2{\int }_0^{3}2(x+y+z)dzdydx$。
各項を計算する。
$\int 2xdV=2\cdot \frac{1}{2}\cdot (2\cdot 3)=6$。
$\int 2ydV=2\cdot \frac{4}{2}\cdot (1\cdot 3)=12$。
$\int 2zdV=2\cdot \frac{9}{2}\cdot (1\cdot 2)=18$。
合計は $6+12+18=36$。

検算：各面で直接計算する。
$x=1$ と $x=0$ の面の差は、$F_x$ の差 $(1+yz)-(yz)=1$ を $y,z$ で積分して $1\cdot 6=6$。
$y=2$ と $y=0$ の面の差は、$(4+xz)-xz=4$ で、$4\cdot (1\cdot 3)=12$。
$z=3$ と $z=0$ の面の差は、$9$ で、$9\cdot (1\cdot 2)=18$。
合計 $36$ となり一致する。