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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間の円柱面の側面
$S = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} = 1, 0 \leq z \leq 3}$
を考える（上下のふたの円板は含まない）。 $S$ には円柱の外側を向く単位法線ベクトル $n$ で向きをつける。ベクトル場
$F (x, y, z) = (x z, y, z^{2})$
の $S$ を通る流束 $\iint_{S} F \cdot n d S$ を求めよ。

この問題で使うもの

面積分と流束（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（76 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「面積分と流束」を使う。円柱面を $r (θ, z) = (cos θ, sin θ, z)$ と媒介変数表示し、 $\iint_{D} F (r) \cdot (r_{θ} \times r_{z}) d θ d z$ を計算する。

ヒント 2

$r_{θ} \times r_{z} = (cos θ, sin θ, 0)$ であり、これが外向きかどうかを確かめて符号を決める。

ヒント 3

内積は $z cos^{2} θ + sin^{2} θ$ となる。 $\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = π$ を使って $\int_{0}^{3} (π z + π) d z$ を計算する。

答えと解説

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\frac{15 π}{2}

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解説を読む

手順1：曲面を媒介変数で表す。
円柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$ の側面は
$r (θ, z) = (cos θ, sin θ, z), 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 3$
と表せる。

手順2：法線ベクトル $r_{θ} \times r_{z}$ を求め、向きを確かめる。
$r_{θ} = (- sin θ, cos θ, 0), r_{z} = (0, 0, 1)$
なので、外積は
$r_{θ} \times r_{z} = (cos θ \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - (- sin θ) \cdot 1, (- sin θ) \cdot 0 - cos θ \cdot 0) = (cos θ, sin θ, 0)$
である。これは点 $(cos θ, sin θ, z)$ で中心軸（ $z$ 軸）から遠ざかる向きなので、外向きである。したがって符号はこのままでよい。

手順3： $F$ に $r (θ, z)$ を代入して内積をとる。
$F (r (θ, z)) = (z cos θ, sin θ, z^{2})$
より
$F \cdot (r_{θ} \times r_{z}) = z cos^{2} θ + sin^{2} θ + z^{2} \cdot 0 = z cos^{2} θ + sin^{2} θ .$

手順4：重積分を計算する。
$\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 π} (z cos^{2} θ + sin^{2} θ) d θ d z .$
半角の公式より
$\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1 + cos 2 θ}{2} d θ = π, \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos 2 θ}{2} d θ = π .$
よって
$\int_{0}^{3} (π z + π) d z = π [\frac{z ^{2}}{2} + z]_{0}^{3} = π (\frac{9}{2} + 3) = \frac{15 π}{2} .$

したがって、求める流束は $\frac{15 π}{2}$ である。

別解

円柱面 $S$ 上では外向き単位法線は $n = (x, y, 0)$ である。したがって $F \cdot n = x^{2} z + y^{2}$ となる。

母線方向の座標を $z$ 、角度を $θ$ として、 $x = cos θ, y = sin θ, 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq z \leq 3$ とおくと、 $d S = d θ d z$ である。

$\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 π} (z cos^{2} θ + sin^{2} θ) d θ d z$

$θ$ についての積分は $\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = π$ 、 $\int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = π$ なので、内側の積分は $π z + π$ となる。

$\int_{0}^{3} (π z + π) d z = π \cdot \frac{9}{2} + 3 π = \frac{15 π}{2}$

検算として、発散定理を用いる。 $div F = z + 1 + 2 z = 3 z + 1$ なので、円柱内部の体積分は $π \int_{0}^{3} (3 z + 1) d z = π (27/2 + 3) = 33 π /2$ である。

上面 $z = 3$ では法線が $(0, 0, 1)$ 、 $F_{z} = 9$ なので、流束は $9 π$ となる。下面 $z = 0$ では法線が $(0, 0, - 1)$ 、 $F_{z} = 0$ なので、流束は $0$ である。

側面の流束は $33 π /2 - 9 π = 15 π /2$ となり、直接計算と一致する。

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