ベクトル解析の問題

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}z+2y,x{y}^2,y{z}^2-x\right)$$
について、回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ の点 $(1,2,3)$ における値を求めよ。答えは成分の組 $(x\text{成分},y\text{成分},z\text{成分})$ の形で答えよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xy,y{z}^2,x^{2}z\right)$$
について、点 $(1,2,3)$ における回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ を求め、その $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分をこの順に組で答えよ。

$xy$ 平面のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(xy,x^2\right)$$
を考える。曲線 $C$ を放物線 $y=x^2$ のうち $0\le x\le 1$ の部分とし、点 $\mathrm{A}(1,1)$ から原点 $\mathrm{O}(0,0)$ へ向かう向きをつける。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

$xyz$ 空間の円柱面の側面
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,0\le z\le 3\}$$
を考える（上下のふたの円板は含まない）。$S$ には円柱の外側を向く単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ で向きをつける。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束 ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ を求めよ。