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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のベクトル場
$F (x, y, z) = (x y, y z^{2}, x^{2} z)$
について、点 $(1, 2, 3)$ における回転 $\nabla \times F$ を求め、その $x$ 成分、 $y$ 成分、 $z$ 成分をこの順に組で答えよ。

この問題で使うもの

勾配・発散・回転（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（54 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「勾配・発散・回転」のうち、回転 $\nabla \times F$ を偏微分で計算します。 $F = (P, Q, R)$ とおきましょう。

ヒント 2

$\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})$ を使います。ここで $R_{y}$ は $R$ を $y$ で偏微分したものです。

ヒント 3

$Q_{z} = 2 y z$ , $R_{x} = 2 x z$ , $P_{y} = x$ で、残りの偏導関数 $R_{y}, P_{z}, Q_{x}$ はすべて $0$ です。これらから $\nabla \times F$ を $x, y, z$ の式で表し、点 $(1, 2, 3)$ を代入します。

答えと解説

答えを見る

(- 12, - 6, - 1)

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解説を読む

$F = (P, Q, R)$ とおくと、 $P = x y, Q = y z^{2}, R = x^{2} z$ である。

回転は次の式で定義される。
$\nabla \times F = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$

必要な偏導関数を一つずつ計算する。偏微分では、微分する変数以外の文字は定数とみなす。
- $\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} z) = 0$ , $\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (y z^{2}) = 2 y z$
- $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x y) = 0$ , $\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} z) = 2 x z$
- $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y z^{2}) = 0$ , $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x y) = x$

よって
$\nabla \times F = (0 - 2 y z, 0 - 2 x z, 0 - x) = (- 2 y z, - 2 x z, - x)$

点 $(1, 2, 3)$ を代入すると
$x 成分 : - 2 \cdot 2 \cdot 3 = - 12, y 成分 : - 2 \cdot 1 \cdot 3 = - 6, z 成分 : - 1$

したがって、求める組は $(- 12, - 6, - 1)$ である。

別解

$F = (P, Q, R) = (x y, y z^{2}, x^{2} z)$ とおく。回転は $\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})$ 。

偏微分を計算する。
$R_{y} = 0$ 、 $Q_{z} = 2 y z$ より $x$ 成分は $- 2 y z$ 。
$P_{z} = 0$ 、 $R_{x} = 2 x z$ より $y$ 成分は $- 2 x z$ 。
$Q_{x} = 0$ 、 $P_{y} = x$ より $z$ 成分は $- x$ 。

よって $\nabla \times F = (- 2 y z, - 2 x z, - x)$ 。

点 $(1, 2, 3)$ を代入すると、 $x$ 成分は $- 2 \cdot 2 \cdot 3 = - 12$ 、 $y$ 成分は $- 2 \cdot 1 \cdot 3 = - 6$ 、 $z$ 成分は $- 1$ 。

検算：行列式の形で $i \partial_{x} x y j \partial_{y} y z^{2} k \partial_{z} x^{2} z$ を展開すると、 $i (0 - 2 y z) - j (2 x z - 0) + k (0 - x)$ となり、一致する。

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