ベクトル解析の問題

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xy,y{z}^2,x^{2}z\right)$$
について、点 $(1,2,3)$ における回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ を求め、その $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分をこの順に組で答えよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}y+z,y^{2}z,x{z}^3\right)$$
について、点 $(1,-1,2)$ における発散 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{A}$ を
$$f(x,y,z)=xyz,\mathbf{A}(x,y,z)=(y,-x,z)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=f\mathbf{A}$ を考える。積の公式
$$\nabla \times (f\mathbf{A})=\nabla f\times \mathbf{A}+f\nabla \times \mathbf{A}$$
を用いて、点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ の値を求めよ。答えは $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分の組 $(,,)$ の形で答えよ。

$xyz$ 空間の直方体領域
$$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2,0\le z\le 3\}$$
の境界の閉曲面（6 つの長方形の面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2+yz,y^2+xz,z^2+xy\right)$$
について、外向きの流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。