ストークスの定理

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S$ を、曲線の向きと曲面の法線の向きを右ねじの関係で合わせて使い、空間の閉曲線に沿った線積分や回転の面積分を、扱いやすい曲面（平面上の円板・楕円など）に取り替えて求められる

前提

面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
グリーンの定理（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ストークスの定理を使うと、空間内の閉曲線 $C$ に沿ったベクトル場の線積分（循環） $\oint_{C} F \cdot d r$ を、 $C$ を縁とする曲面 $S$ 上での回転 $\nabla \times F$ の面積分に置き換えられます。 $C$ が円柱と平面の交わりのような曲線で、直接パラメータ表示して積分すると計算が重いときに役立ちます。縁 $C$ が同じなら曲面 $S$ は自由に選べるので、平面上の円板や楕円のような扱いやすい曲面を選ぶのがコツです。逆に、回転の面積分を縁の線積分や別の曲面の面積分で求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

出発点はグリーンの定理です。 $x y$ 平面上のベクトル場 $(P, Q, 0)$ について、回転の $z$ 成分は $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ です。上向きの単位法線 $n = (0, 0, 1)$ を使うと、グリーンの定理 $\oint_{C} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$ は $\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} (\nabla \times F) \cdot n d S$ と書き直せます。つまり「小さな平らな輪を回る循環は、(回転) $\cdot$ (法線) $\times$ (面積) にほぼ等しい」ということです。輪がどの向きに傾いていても、その平面を座標平面とみなせば同じことが成り立ちます。

次に、曲面 $S$ を細かい網目に切り分けます。小片はどれもほぼ平らなので、各小片の縁を回る循環は $(\nabla \times F) \cdot n Δ S$ で近似できます。これらをすべて足すと、隣り合う小片が共有する内側の辺は互いに逆向きにたどられるので打ち消し合います。最後に残るのは外周 $C$ に沿った線積分だけです。これで $\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S$ が得られます。ただし、内側の辺が打ち消し合うには、すべての小片の縁を「法線の向きから見て反時計回り」にそろえて回る必要があります。これが右ねじの関係です。法線 $n$ の側に頭を置いて $C$ の上を進むと、曲面 $S$ が左手側に来ます。

右辺は $C$ だけで決まる左辺に等しいので、縁が $C$ で $F$ がなめらかな曲面であれば、どれを選んでも値は変わりません。そこで計算が楽な平らな曲面を選びます。パラメータ表示 $r (u, v)$ を使う場合は $n d S = (r_{u} \times r_{v}) d u d v$ です（向きが逆なら符号を変えます）。

手順

$C$ が閉曲線であることを確かめ、 $C$ を縁とする扱いやすい曲面 $S$ （平面の一部など）を選ぶ。 $F$ が $S$ 上（縁を含む）でなめらか（成分が連続な偏導関数をもつ）であることも確かめる
回転を計算する: $\nabla \times F = (\frac{\partial F _{3}}{\partial y} - \frac{\partial F _{2}}{\partial z}, \frac{\partial F _{1}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial x}, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial y})$
$S$ を $r (u, v)$ , $(u, v) \in D$ と表し、 $r_{u} \times r_{v}$ を求める
$C$ の向きと右ねじの関係になる法線の向きを決め、 $r_{u} \times r_{v}$ がその向きと逆なら符号を反転する
$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} (\nabla \times F) (r (u, v)) \cdot (\pm r_{u} \times r_{v}) d u d v$ を計算する

例題

$F = (z, x, y)$ とする。円柱面 $x^{2} + y^{2} = 4$ と平面 $y + z = 3$ の交わりを曲線 $C$ とし、 $C$ の向きは $z$ 軸の正の側から見下ろして反時計回りとする。ストークスの定理を用いて、線積分 $\oint_{C} F \cdot d r$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $C$ は平面 $y + z = 3$ 上の閉曲線です。そこで $S$ として、平面 $y + z = 3$ のうち円柱の内側にある部分（楕円形の平らな板）を選びます。 $F$ は多項式なので、どこでもなめらかです。

手順2: $F_{1} = z, F_{2} = x, F_{3} = y$ から、 $\nabla \times F = (\frac{\partial y}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial z}{\partial z} - \frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y}) = (1, 1, 1)$ です。

手順3: $S$ を $r (x, y) = (x, y, 3 - y)$ , $(x, y) \in D = {x^{2} + y^{2} \leq 4}$ と表します。 $r_{x} = (1, 0, 0)$ , $r_{y} = (0, 1, - 1)$ なので、 $r_{x} \times r_{y} = (0 \cdot (- 1) - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, 1, 1)$ です。

手順4: $C$ は上から見て反時計回りなので、右ねじの関係から法線は上向き（ $z$ 成分が正）を選びます。 $(0, 1, 1)$ の $z$ 成分は $1 > 0$ なので、このまま使えます。

手順5: $(\nabla \times F) \cdot (r_{x} \times r_{y}) = (1, 1, 1) \cdot (0, 1, 1) = 2$ です。よって $\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} 2 d x d y = 2 \times (π \cdot 2^{2}) = 8 π .$

（確認）直接計算もしてみます。 $x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3 - 2 sin t$ （ $0 \leq t \leq 2 π$ ）とおくと、被積分関数は $- 6 sin t + 4 sin^{2} t + 4 cos^{2} t - 4 sin t cos t$ です。これを積分すると $8 π$ となり、一致します。

答え: $8 π$

よくある誤り

曲線の向きと法線の向きを合わせずに計算し、符号が逆になる誤り。例題で下向き法線 $(0, - 1, - 1)$ を使うと $- 8 π$ になる。正しくは、法線の側に頭を置いて $C$ 上を進んだとき $S$ が左手側に来る向き（例題では上向き）を選ぶ。
$n d S$ を $(r_{u} \times r_{v}) d u d v$ で置き換えたうえで、さらに面積要素 $∣ r_{u} \times r_{v} ∣$ を掛けてしまう誤り。例題で $∣ (0, 1, 1) ∣ = 2$ を余計に掛けると $82 π$ になる。正しくは、単位法線 $n = \frac{r _{u} \times r _{v}}{∣ r _{u} \times r _{v} ∣}$ と $d S = ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ の積なので、 $∣ \cdot ∣$ は打ち消し合う。
$F$ がなめらかでない点を含む曲面にストークスの定理を当てはめる誤り。例として、 $z$ 軸上で定義されない $F = (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, 0)$ を考える。この場の回転は $z$ 軸以外で $0$ なので、単位円板で面積分を「 $0$ 」としてしまう。しかし単位円を反時計回りに回る線積分は $2 π$ である。正しくは、 $S$ 全体で $F$ がなめらかなことを先に確かめる。
回転の成分の引き算の順序を取り違える誤り。たとえば $x$ 成分を $\frac{\partial F _{2}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial y}$ としてしまう。正しくは $(\frac{\partial F _{3}}{\partial y} - \frac{\partial F _{2}}{\partial z}, \frac{\partial F _{1}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial x}, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial y})$ で、 $x \to y \to z \to x$ の順に巡回させて覚える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

微分形式の積分とストークスの定理（大学院数学微分幾何）
断熱定理とベリー位相（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
アハラノフ・ボーム効果（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））