微分形式の積分とストークスの定理

向き付けられた多様体上の $k$ 次形式の積分を、パラメータ表示の引き戻しとして計算できる。境界の向き（外向き法線を先頭に置く）を決め、一般のストークスの定理 $\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω$ を使って、線積分や $\int_{S^{3}} α \land d α$ のような積分の値を求められる

前提

微分形式の外積と外微分（大学院数学微分幾何）
ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

向き付けられた $k$ 次元多様体 $M$ （たとえば $R^{n}$ の中の曲線・曲面・球面 $S^{3}$ など）の上で $k$ 次の微分形式 $ω$ を積分する方法と、境界 $\partial M$ の向きの決め方を学び、一般のストークスの定理 $\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω$ を使えるようにする技能です。微積分の基本定理・グリーンの定理・ベクトル解析のストークスの定理・ガウスの発散定理はすべてこの 1 つの式の特別な場合で、次元や座標の数に関係なく同じ手順で扱えます。 $\int_{S^{3}} α \land d α$ のように直接のパラメータ表示が面倒な積分も、内部の球体 $B^{4}$ 上の積分に取り替えて求められます。

なぜそうしてよいのか

積分の定義（引き戻し）: $R^{k}$ の開集合 $U$ 上の $k$ 次形式は $f d u_{1} \land \dots \land d u_{k}$ と 1 つの関数で書けるので、 $\int_{U} f d u_{1} \land \dots \land d u_{k} = \int_{U} f d u_{1} \dots d u_{k}$ （右辺は普通の重積分）と定めます。 $M$ の一部分を $φ : U \to M$ とパラメータ表示し、 $φ$ が $M$ の向きを保つ（ $\frac{\partial φ}{\partial u _{1}}, \dots, \frac{\partial φ}{\partial u _{k}}$ がこの順で $M$ の正の向きの基底になる）とき $\int_{φ (U)} ω = \int_{U} φ^{*} ω$ とします。別の向きを保つパラメータ $ψ = φ \circ g$ に取り替えると、 $g^{*} (f d u_{1} \land \dots \land d u_{k}) = (f \circ g) det (D g) d v_{1} \land \dots \land d v_{k}$ で $det (D g) > 0$ なので、重積分の変数変換公式（ヤコビアンの絶対値）とちょうど一致し、値はパラメータの取り方によりません。向きを逆にするパラメータを使うと符号が反転します。 $M$ 全体は、いくつかのパラメータ表示の像に分けて（重なりが体積 0 になるように）足し合わせます。\n\n境界の向き: $M$ の境界点で、外向きの法線ベクトル $n$ を先頭に置いた $(n, v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ が $M$ の正の向きの基底になるとき、 $(v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ を $\partial M$ の正の向きとします。平面の円板なら $(n, v)$ が正の向きになる接ベクトル $v$ は反時計回りで、グリーンの定理の向きと一致します。 $k = 1$ では境界は点（0 次元多様体）で、点の向きは $+$ か $-$ の符号、0 次形式（関数） $f$ の積分は符号付きの和です。 $M = [a, b]$ では外向き法線が $+ e_{1}$ である端点 $b$ に $+$ 、 $- e_{1}$ である端点 $a$ に $-$ がつき、 $\int_{\partial M} f = f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} f^{'} (u) d u = \int_{M} df$ 。これが微積分の基本定理です。\n\nなぜストークスの定理が成り立つか（立方体での確認）: 立方体 $Q = [0, 1]^{k}$ （向きは $d u_{1} \land \dots \land d u_{k}$ ）上の $(k - 1)$ 次形式は\n $ω = j = 1 \sum k f_{j} d u_{1} \land \dots \land d u_{j} \land \dots \land d u_{k} (d u_{j} は d u_{j} を除くことを表す)$ \nと書けます。 $j$ 番目の項 $ω_{j}$ について、 $d ω_{j} = \frac{\partial f _{j}}{\partial u _{j}} d u_{j} \land d u_{1} \land \dots d u_{j} \dots \land d u_{k}$ で、 $d u_{j}$ を $j$ 番目の位置まで動かすのに $j - 1$ 回の入れ替えが必要なので $d ω_{j} = (- 1)^{j - 1} \frac{\partial f _{j}}{\partial u _{j}} d u_{1} \land \dots \land d u_{k}$ 。 $u_{j}$ について微積分の基本定理を使うと、 $u_{j}^{'} = (u_{1}, \dots, u_{j}, \dots, u_{k})$ として\n $\int_{Q} d ω_{j} = (- 1)^{j - 1} \int_{[0, 1]^{k - 1}} (f_{j} ∣_{u_{j} = 1} - f_{j} ∣_{u_{j} = 0}) d u_{j}^{'} .$ \n一方、境界側では、面 $u_{j} = 1$ を $u_{j}^{'}$ でそのままパラメータ表示すると、外向き法線は $e_{j}$ で、 $(e_{j}, e_{1}, \dots, e_{j}, \dots, e_{k})$ は標準基底から $j - 1$ 回の入れ替えで得られるので、このパラメータ表示の向きの符号は $(- 1)^{j - 1}$ 。面 $u_{j} = 0$ の外向き法線は $- e_{j}$ なので符号は $(- 1)^{j}$ 。 $ω_{j}$ をこれらの面に引き戻すと $f_{j} d u_{j}^{'}$ （ $d u_{j} = 0$ だが $ω_{j}$ に $d u_{j}$ は入っていない）なので、この 2 面の寄与は $(- 1)^{j - 1} \int f_{j} ∣_{u_{j} = 1} d u_{j}^{'} + (- 1)^{j} \int f_{j} ∣_{u_{j} = 0} d u_{j}^{'}$ で、上の $\int_{Q} d ω_{j}$ と一致します。残りの面 $u_{i} = 0, 1$ （ $i \neq = j$ ）では $u_{i}$ が定数なので $d u_{i}$ の引き戻しは 0 で、 $d u_{i}$ を含む $ω_{j}$ の引き戻しは 0 です。 $j = 1, \dots, k$ について足すと $\int_{\partial Q} ω = \int_{Q} d ω$ が得られます。\n\n一般の $M$ への拡張は、ここではスケッチにとどめます。 $M$ を小さな部分に分け（厳密には「1 の分割」と呼ばれる関数の和で $ω$ を小さな台をもつ形式の和に分け）、それぞれをパラメータ表示で引き戻すと、 $d$ は引き戻しと可換 $φ^{*} d ω = d φ^{*} ω$ なので立方体（または半空間）の場合に帰着します。隣り合う部分が共有する境界は向きが逆なので打ち消し合い、 $\partial M$ だけが残ります。立方体は角をもつので、角での扱いにも本来は注意が要りますが、角は低次元で積分に寄与しません。いずれにせよ、 $M$ はコンパクト（または $ω$ が有界な範囲の外で 0）で、 $ω$ は $M$ 全体（境界を含む）で滑らかに定義されていることが必要です。

手順

（向き） $M$ と $\partial M$ の向きを確認する。 $\partial M$ には「外向き法線を先頭に置いたとき $M$ の正の向きになる」向きを与える（ $R^{n}$ の領域なら $M$ の向きは標準の $d x_{1} \land \dots \land d x_{n}$ ）。
（直接計算）直接計算するなら、向きを保つパラメータ表示 $φ : U \to M$ をとり、 $φ^{*} ω = f d u_{1} \land \dots \land d u_{k}$ を計算して $\int_{U} f d u_{1} \dots d u_{k}$ を求める。向きを逆にするパラメータなら符号を反転する。
（外微分）ストークスの定理を使うなら、 $ω$ が $M$ 全体で滑らかに定義されていることを確かめ、外微分 $d ω$ を計算する（ $d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{p} α \land d β$ （ $α$ は $p$ 次）、 $dd = 0$ を使う）。
（ストークスの定理） $\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω$ として、扱いやすい側の積分を計算する。 $d ω = g d x_{1} \land \dots \land d x_{n}$ なら $\int_{M} g d x_{1} \dots d x_{n}$ という普通の重積分になる。

例題

$R^{4}$ の座標を $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ とし、単位球面 $S^{3} = {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1}$ に、単位球体 $B^{4} = {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \leq 1}$ （向きは $d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} \land d x_{4}$ ）の境界としての向きを与える。 $α = x_{1} d x_{2} - x_{2} d x_{1} + x_{3} d x_{4} - x_{4} d x_{3}$ とするとき、 $\int_{S^{3}} α \land d α$ を求めよ。ただし $B^{4}$ の体積が $\frac{π ^{2}}{2}$ であることは用いてよい。

例題の解答

手順 1（向き）: $S^{3} = \partial B^{4}$ で、向きは外向き法線を先頭に置いて $B^{4}$ の標準の向きになるもの。これがストークスの定理で使う向きと一致している。\n\n手順 2（直接計算）: $S^{3}$ のパラメータ表示は 3 変数で煩雑なので、ここでは使わず、手順 3・4 のストークスの定理で $B^{4}$ 上の積分に取り替える。\n\n手順 3（外微分）: $α$ は $R^{4}$ 全体で滑らかなので、 $α \land d α$ は $B^{4}$ 全体で滑らか。\n $d α = d x_{1} \land d x_{2} - d x_{2} \land d x_{1} + d x_{3} \land d x_{4} - d x_{4} \land d x_{3} = 2 (d x_{1} \land d x_{2} + d x_{3} \land d x_{4}) .$ \n $α$ は 1 次なので $d (α \land d α) = d α \land d α - α \land d (d α) = d α \land d α$ 。2 次形式どうしは可換で $d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{1} \land d x_{2} = 0$ などに注意すると\n $d α \land d α = 4 (d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} \land d x_{4} + d x_{3} \land d x_{4} \land d x_{1} \land d x_{2}) = 8 d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} \land d x_{4} .$ \n\n手順 4（ストークスの定理）:\n $\int_{S^{3}} α \land d α = \int_{B^{4}} d (α \land d α) = \int_{B^{4}} 8 d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4} = 8 \cdot \frac{π ^{2}}{2} = 4 π^{2} .$

答え: $4 π^{2}$

よくある誤り

境界の向きを逆にとってしまう誤り。外向き法線は先頭に置く。平面の円環 $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ では、外側の円は反時計回り、内側の円は時計回りが正しい境界の向きで、両方を反時計回りにすると $\int_{\partial M} ω$ の内側の寄与の符号が逆になる。
$M$ の内部で定義されていない形式にストークスの定理を使ってしまう誤り。 $ω = \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}}$ は $d ω = 0$ だが原点で定義されないので、単位円板 $D$ に対して $\int_{\partial D} ω = \int_{D} d ω = 0$ とはできない。正しくは $x = cos t, y = sin t$ と引き戻して $\int_{0}^{2 π} d t = 2 π$ 。
外積の順序や外微分の符号を雑に扱ってしまう誤り。たとえば $d x_{3} \land d x_{4} \land d x_{1} \land d x_{2} = - d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} \land d x_{4}$ としてしまうと $d α \land d α = 0$ と誤る。正しくは 2 個ずつの入れ替えで符号は $(- 1)^{2 \cdot 2} = + 1$ となり、 $d x_{3} \land d x_{4} \land d x_{1} \land d x_{2} = d x_{1} \land d x_{2} \land d x_{3} \land d x_{4}$ 。
パラメータ表示が向きを保つか確かめずに $\int_{U} φ^{*} ω$ を答えにしてしまう誤り。正しくは向きを逆にするパラメータなら $\int_{M} ω = - \int_{U} φ^{*} ω$ 。たとえば $R^{2}$ の上半円を $φ (u) = (- cos u, sin u)$ （ $0 \leq u \leq π$ , 時計回り）で表すと、反時計回りの向きでの $\int x d y$ は $\int_{0}^{π} φ^{*} (x d y) = - \frac{π}{2}$ の符号を反転した $\frac{π}{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{2}$ の座標を $(x, y)$ とし、 $R^{2}$ には $d x \land d y$ が正となる向きを入れる。長方形
$M = {(x, y) \in R^{2} ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2}$
を考え、その境界 $\partial M$ には $M$ から誘導される向き（外向き法線を先頭に置いたとき正の向きになる向き）を入れる。 $1$ 次微分形式
$ω = x^{2} y d y$
について、積分 $\int_{\partial M} ω$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）