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微分幾何の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学微分幾何

$R^{4}$ の座標を $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})$ とし、 $R^{4}$ には $d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2}$ が正となる向きを入れる。領域
$D = {(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}) \in R^{4} ∣ x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 4 (x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) \leq 4}$
の境界を $M = \partial D$ とし、 $M$ には $D$ の境界としての向き（外向き法線ベクトルを先頭に付け加えたとき $R^{4}$ の向きと一致する向き）を入れる。 $R^{4}$ 上の $1$ 次微分形式
$α = x_{1} d y_{1} - y_{1} d x_{1} + 3 (x_{2} d y_{2} - y_{2} d x_{2})$
に対し、 $3$ 次微分形式 $α \land d α$ を $M$ に引き戻して得られる積分
$\int_{M} α \land d α$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

微分形式の外積と外微分（説明と入口の問題）
微分形式の積分とストークスの定理（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$M$ は $D$ の境界なので、ストークスの定理で $D$ 上の $4$ 次形式の積分に直せないか考えよう。

ヒント 2

$d (α \land d α) = d α \land d α$ であり、 $d α = 2 d x_{1} \land d y_{1} + 6 d x_{2} \land d y_{2}$ となる。

ヒント 3

$d α \land d α = 24 d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2}$ となるので、求める積分は $24 vol (D)$ である。あとは楕円体 $D$ の $4$ 次元体積を計算すればよい。

答えと解説

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48 π^{2}

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解説を読む

ストークスの定理に帰着する。 $M = \partial D$ は滑らかなコンパクト $3$ 次元多様体（楕円体面）で、向きは $D$ の境界としての向きなので、ストークスの定理より
$\int_{M} α \land d α = \int_{D} d (α \land d α) .$
ここで $d (α \land d α) = d α \land d α - α \land d (d α) = d α \land d α$ である（ $d \circ d = 0$ ）。

$d α$ の計算。
$d (x_{1} d y_{1} - y_{1} d x_{1}) = d x_{1} \land d y_{1} - d y_{1} \land d x_{1} = 2 d x_{1} \land d y_{1},$
同様に $d (x_{2} d y_{2} - y_{2} d x_{2}) = 2 d x_{2} \land d y_{2}$ なので
$d α = 2 d x_{1} \land d y_{1} + 6 d x_{2} \land d y_{2} .$

$d α \land d α$ の計算。 $2$ 次形式どうしは可換で、 $(d x_{1} \land d y_{1}) \land (d x_{1} \land d y_{1}) = 0$ 、 $(d x_{2} \land d y_{2}) \land (d x_{2} \land d y_{2}) = 0$ だから
$d α \land d α = 2 \cdot 2 \cdot 6 d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2} = 24 d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2} .$
これは向きを正とする体積形式の $24$ 倍なので
$\int_{M} α \land d α = 24 vol (D) .$

$D$ の体積。 $ρ^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ とおく。 $(x_{1}, y_{1})$ を固定すると、 $(x_{2}, y_{2})$ の動く範囲は半径 $(4 - ρ^{2}) /4$ の円板で、その面積は $π (1 - \frac{ρ ^{2}}{4})$ である（ $ρ \leq 2$ ）。よってフビニの定理と極座標により
$vol (D) = \int_{ρ \leq 2} π (1 - \frac{ρ ^{2}}{4}) d x_{1} d y_{1} = π \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (1 - \frac{ρ ^{2}}{4}) ρ d ρ d θ = 2 π^{2} [\frac{ρ ^{2}}{2} - \frac{ρ ^{4}}{16}]_{0}^{2} = 2 π^{2} (2 - 1) = 2 π^{2} .$
（半軸 $2, 2, 1, 1$ の楕円体なので、単位球の体積 $π^{2} /2$ の $2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 4$ 倍と考えてもよい。）

結論。
$\int_{M} α \land d α = 24 \cdot 2 π^{2} = 48 π^{2} .$

別解

$α = x_{1} d y_{1} - y_{1} d x_{1} + 3 (x_{2} d y_{2} - y_{2} d x_{2})$ より $d α = 2 d x_{1} \land d y_{1} + 6 d x_{2} \land d y_{2}$ 。 $M = \partial D$ なのでストークスの定理より $\int_{M} α \land d α = \int_{D} d α \land d α$ （ $d (α \land d α) = d α \land d α$ ）。 $d α \land d α = 2 \cdot 2 \cdot 6 d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2} = 24 d x_{1} \land d y_{1} \land d x_{2} \land d y_{2}$ 。この向きが $R^{4}$ の向きと一致するので積分は $24 vol (D)$ 。 $D$ の体積: $(x_{2}, y_{2}) \mapsto (2 x_{2}, 2 y_{2})$ の変数変換でヤコビアンは $4$ 、 $D$ は半径 $2$ の 4 次元球に移るので $vol (D) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π ^{2}}{2} \cdot 2^{4} = 2 π^{2}$ 。よって $24 \cdot 2 π^{2} = 48 π^{2}$ 。検算: $(r_{1}, r_{2})$ で $vol (D) = \int (2 π r_{1}) (2 π r_{2}) d r_{1} d r_{2}$ を領域 $r_{1}^{2} + 4 r_{2}^{2} \leq 4$ で積分すると $4 π^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \dots$ ではなく直接 $π^{2} /2 \cdot 16/4 = 2 π^{2}$ で一致。

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