微分幾何の問題

ストークスの定理より
$${\int }_{\partial E}\omega ={\int }_{E}d\omega .$$
（$\partial E$ には角があるが、$E$ は区分的に滑らかな境界をもつコンパクト領域なので、ストークスの定理が使える。）

$\omega =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$ に対して
$$d\omega =\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz$$
である。いま $P=x+y^{2}z,Q=yz,R=x^2+z^2$ なので
$$\frac{\partial P}{\partial x}=1,\frac{\partial Q}{\partial y}=z,\frac{\partial R}{\partial z}=2z$$
より
$$d\omega =(1+3z)dx\wedge dy\wedge dz.$$

$E$ の向きは $dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きなので
$${\int }_{E}d\omega ={\iiint }_E(1+3z)dxdydz.$$
各 $z\in [0,3]$ での断面は半径 $2$ の円板で面積は $4\pi$ だから
$${\iiint }_E(1+3z)dxdydz=4\pi {\int }_0^3(1+3z)dz=4\pi {\left[z+\frac{3}{2}{z}^2\right]}_0^3=4\pi \left(3+\frac{27}{2}\right)=4\pi \cdot \frac{33}{2}=66\pi .$$

よって ${\int }_{\partial E}\omega =66\pi$ である。

ストークスの定理より ${\int }_{\partial E}\omega ={\int }_{E}d\omega$。
$\omega =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$($P=x+y^{2}z$, $Q=yz$, $R=x^2+z^2$)のとき $d\omega =(P_x+Q_y+R_z)dx\wedge dy\wedge dz$。
$P_x=1$, $Q_y=z$, $R_z=2z$ なので $d\omega =(1+3z)dx\wedge dy\wedge dz$。
$E$ は円柱(底面は半径2の円板、面積 $4\pi$、高さ0〜3)なので、
${\int }_E(1+3z)dV=4\pi {\int }_0^3(1+3z)dz=4\pi \left(3+\frac{27}{2}\right)=4\pi \cdot \frac{33}{2}=66\pi$。
検算(境界を直接計算): 側面は外向き法線 $(x,y,0)/2$ で流束 $\int (x^2+x{y}^{2}z+y^{2}z)/2dS$ の寄与を計算すると、上面($z=3$、法線 $+z$)は $\int (x^2+9)dA=4\pi \cdot ...$ で、各面の和が $66\pi$ になる。実際: 上面 $\int (x^2+9)dA=\pi \cdot 4^2/4\cdot ...$ すなわち $\int x^{2}dA=\pi \cdot 2^4/4=4\pi$、$9\cdot 4\pi =36\pi$ で計 $40\pi$。底面($z=0$、法線 $-z$)は $-\int x^{2}dA=-4\pi$。側面は ${\int }_0^3{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}\cdot 2(\dots )$ より $x\cdot x+y\cdot yz$ の流束 $=\int (x^2+y^{2}z+yz\cdot y\cdots )$ を整理して $30\pi$。合計 $40\pi -4\pi +30\pi =66\pi$。