微分幾何の問題

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。円柱領域
$$E=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 4,0\le z\le 3\}$$
の境界 $\partial E$（側面・上面・底面からなる）に、$E$ の向きから誘導される境界の向き（外向き法線に対応する向き）を入れる。$2$ 次微分形式
$$\omega =(x+y^{2}z)dy\wedge dz+yzdz\wedge dx+(x^2+z^2)dx\wedge dy$$
について、積分
$${\int }_{\partial E}\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の閉曲線
$$C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2=1,z=2-x\}$$
を考え、$C$ には $xy$ 平面への射影が反時計回りになる向きを入れる。$1$ 次微分形式
$$\omega =-y^{3}dx+(x^3+z)dy$$
に対し、線積分 ${\int }_C\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ には $dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおき、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{r^3}+x^{2}zdx\wedge dy$$
を考える。楕円体面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=1\right\}$$
には、$S$ が囲む立体 $E=\left\{\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\le 1\right\}$ の境界としての向き（外向き法線による向き）を入れる。積分 ${\int }_S\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+z^{2}dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=1-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、写像 $(x,y)\mapsto (x,y,1-x^2-y^2)$（$x^2+y^2\le 1$）が向きを保つような向き（すなわち単位法線が上向き、$z$ 成分が正となる向き）を入れる。積分
$${\int }_S\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$2$ 次微分形式
$$\omega =x^{3}dy\wedge dz+y^{3}dz\wedge dx+(z+x^2)dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=4-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、単位法線ベクトルの $z$ 成分が正となる向きを入れる（すなわち $(x,y)$ による表示で $dx\wedge dy$ が正となる向き）。積分 ${\int }_S\omega$ を求めよ。