微分形式の外積と外微分

$R^{n}$ 上の微分形式の外積 $\land$ （ $d x \land d y = - d y \land d x$ ）と外微分 $d$ を計算できる。写像による引き戻し $φ^{*} ω$ を計算し、 $d (d ω) = 0$ を使って、 $α \land d α$ のような形式を成分で表せる

前提

行列式（大学数学線形代数）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

説明

$R^{n}$ 上の微分形式とは、 $f d x$ 、 $g d x \land d y$ のように、関数を係数にして $d x_{i}$ たちを外積 $\land$ で掛け合わせたものの和です。この技能では、外積 $\land$ の符号の規則（ $d x \land d y = - d y \land d x$ 、 $d x \land d x = 0$ ）、外微分 $d$ 、写像による引き戻し $φ^{*}$ を、成分で機械的に計算できるようになります。これらは多変数の積分の変数変換（ヤコビアン）、グリーン・ストークスの定理、接触形式 $α \land d α$ の判定など、幾何・解析の多くの場面で基本の計算になります。

なぜそうしてよいのか

$d x_{1}, \dots, d x_{n}$ は、ベクトル $v$ にその第 $i$ 成分 $v_{i}$ を対応させる関数だと考えます。 $d x_{i} \land d x_{j}$ は 2 つのベクトル $v, w$ に行列式 $v_{i} v_{j} w_{i} w_{j}$ を対応させるもの、一般に $d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ は $k$ 本のベクトルの第 $i_{1}, \dots, i_{k}$ 成分を並べた $k$ 次の行列式を対応させるもの、と定めます。すると行列式の交代性から、因子を 1 回入れ替えると符号が変わり（ $d x \land d y = - d y \land d x$ ）、同じ因子が 2 つあると 0（ $d x \land d x = 0$ ）になります。外積は多重線形なので、一般の形式どうしの外積は分配法則で展開し、各項を並べ替えて符号を付ければ計算できます。 $k$ 次形式と $l$ 次形式では $α \land β = (- 1)^{k l} β \land α$ となります（1 次の因子を $k l$ 回入れ替えるため）。

外微分 $d$ は全微分の一般化です。関数（0 次形式）には全微分 $df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} d x_{i}$ を対応させ、 $k$ 次形式 $f d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ には $df \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ を対応させ、和には線形に広げます。このとき $d (d ω) = 0$ が成り立ちます。関数 $f$ （2 回連続微分可能）で確かめると $d (df) = \sum_{i, j} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{j} \partial x _{i}} d x_{j} \land d x_{i}$ で、 $i, j$ を入れ替えた項どうしは偏微分の順序交換により係数が等しく、 $d x_{j} \land d x_{i} = - d x_{i} \land d x_{j}$ によって打ち消し合い、 $i = j$ の項は $d x_{i} \land d x_{i} = 0$ だからです。また、 $k$ 次形式 $α$ について積の微分に相当する規則 $d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{k} α \land d β$ が成り立ちます。

引き戻しは「変数を代入すること」です。写像 $φ : (u_{1}, \dots, u_{m}) \mapsto (x_{1}, \dots, x_{n})$ に対し、 $φ^{*} ω$ は $ω$ の係数の $x_{i}$ に $x_{i} (u)$ を代入し、 $d x_{i}$ を全微分 $d x_{i} = \sum_{j} \frac{\partial x _{i}}{\partial u _{j}} d u_{j}$ で置き換えて展開したものです。連鎖律より $φ^{*} (df) = d (f \circ φ)$ となり、一般に $φ^{*} (d ω) = d (φ^{*} ω)$ 、 $φ^{*} (α \land β) = φ^{*} α \land φ^{*} β$ が成り立ちます。特に $m = n$ のとき、 $φ^{*} (d x_{1} \land \dots \land d x_{n}) = det (\frac{\partial x _{i}}{\partial u _{j}}) d u_{1} \land \dots \land d u_{n}$ となり、ヤコビ行列の行列式が現れます（展開した項を並べ替えた符号の和がちょうど行列式の定義になるため）。

手順

形式を基底 $d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ （ $i_{1} < \dots < i_{k}$ ）の関数倍の和の形に整理する
外積: 分配法則で項ごとに展開し、同じ $d x_{i}$ を 2 つ含む項は 0 として消し、残りは因子を入れ替えて添字の小さい順に並べる（1 回入れ替えるごとに符号 $- 1$ 。例: $d z \land d x \land d y = d x \land d y \land d z$ は 2 回の入れ替え）
外微分: 各項 $f d x_{I}$ について $d (f d x_{I}) = df \land d x_{I} = \sum_{j} \frac{\partial f}{\partial x _{j}} d x_{j} \land d x_{I}$ を計算し、手順 2 と同様に整理する。 $d (d ω) = 0$ や $d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{k} α \land d β$ を使うと計算を省けることがある
引き戻し: 係数の $x_{i}$ に $x_{i} (u)$ を代入し、 $d x_{i} = \sum_{j} \frac{\partial x _{i}}{\partial u _{j}} d u_{j}$ と置き換えて、手順 2 で整理する（最高次の形式ならヤコビ行列式を掛ければよい）

例題

$R^{3}$ （座標 $x, y, z$ ）上の 1 次形式 $α = z d x + x d y + y d z$ について、 $α \land d α = f d x \land d y \land d z$ となる関数 $f (x, y, z)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $α$ はすでに $d x, d y, d z$ の関数倍の和の形である。

【手順 3（外微分）】各項に $d (g d x_{i}) = d g \land d x_{i}$ を使う。
$d (z d x) = d z \land d x, d (x d y) = d x \land d y, d (y d z) = d y \land d z$
（たとえば $d z = 0 \cdot d x + 0 \cdot d y + 1 \cdot d z$ なので $d (z d x) = d z \land d x$ ）。よって $d α = d z \land d x + d x \land d y + d y \land d z$ 。

【手順 2（外積）】 $α \land d α$ を展開する。同じ $d x_{i}$ を 2 つ含む項は 0 になるので、残るのは
- $z d x \land (d y \land d z) = z d x \land d y \land d z$
- $x d y \land (d z \land d x) = x d y \land d z \land d x$
- $y d z \land (d x \land d y) = y d z \land d x \land d y$
の 3 項だけである（例: $z d x \land d z \land d x = 0$ ）。並べ替えると、 $d y \land d z \land d x$ は $d x$ を 2 回入れ替えて左端へ動かすので $d y \land d z \land d x = + d x \land d y \land d z$ 、同様に $d z \land d x \land d y = + d x \land d y \land d z$ 。したがって
$α \land d α = (x + y + z) d x \land d y \land d z$
となり、 $f = x + y + z$ 。

答え: $x + y + z$

よくある誤り

外積を普通の積のように可換として扱ってしまう誤り。正しくは $d x \land d y = - d y \land d x$ 、 $d x \land d x = 0$ 。たとえば $(d x + d y) \land (d x - d y)$ は $d x \land d x - d y \land d y = 0$ ではなく、 $- d x \land d y + d y \land d x = - 2 d x \land d y$
並べ替えの符号を、入れ替えの回数を数えずに付けてしまう誤り。巡回的なずらし $d y \land d z \land d x$ は 2 回の入れ替えなので $+ d x \land d y \land d z$ 、一方 $d y \land d x \land d z$ は 1 回なので $- d x \land d y \land d z$ である
外微分で係数だけを微分し、 $d x_{j}$ を前に掛ける位置や $d$ 自身を落としてしまう誤り。正しくは $d (f d x_{I}) = df \land d x_{I}$ で、たとえば $d (x y d z) = y d x \land d z + x d y \land d z$ （ $d (x y d z) = (y + x) d z$ などとはならない）。また $d (d x) = 0$ で、 $d x \land d y$ の外微分も 0
引き戻しで係数に代入するだけで $d x_{i}$ を置き換え忘れる誤り。たとえば $φ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)$ による $d x \land d y$ の引き戻しは $d r \land d θ$ ではなく、 $d x = cos θ d r - r sin θ d θ$ 、 $d y = sin θ d r + r cos θ d θ$ を外積して $r d r \land d θ$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ の座標を $(x, y, z)$ とし、 $1$ 次微分形式
$α = y^{2} d x + x d z$
を考える。 $3$ 次微分形式 $α \land d α$ を
$α \land d α = f (x, y, z) d x \land d y \land d z$
と表すとき、関数 $f (x, y, z)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

微分形式の積分とストークスの定理（大学院数学微分幾何）
ド・ラーム・コホモロジーの定義と基本計算（大学院数学微分トポロジー・特性類）