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微分幾何の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ の座標を $(x, y, z)$ とし、リーマン計量
$g = d x \otimes d x + (1 + 4 x^{2}) d y \otimes d y - 4 x (d y \otimes d z + d z \otimes d y) + 4 d z \otimes d z$
を入れる（すなわち $g_{xx} = 1, g_{y y} = 1 + 4 x^{2}, g_{y z} = g_{z y} = - 4 x, g_{z z} = 4$ で、その他の成分は $0$ ）。 $g$ のレヴィ・チヴィタ接続に関する断面曲率を考え、原点 $O = (0, 0, 0)$ における接空間 $T_{O} R^{3}$ のすべての $2$ 次元部分空間 $σ$ にわたる断面曲率 $K (σ)$ の最小値 $m$ と最大値 $M$ を、組 $(m, M)$ の形でこの順に求めよ。

この問題で使うもの

微分形式の外積と外微分（説明と入口の問題）
第一基本形式とリーマン計量（説明と入口の問題）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（84 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

計量を平方完成して $g = d x^{2} + d y^{2} + 4 (d z - x d y)^{2}$ と書き、正規直交な余枠 $θ^{1} = d x, θ^{2} = d y, θ^{3} = 2 (d z - x d y)$ とその双対枠を使う。

ヒント 2

双対枠 $e_{1} = \partial_{x}, e_{2} = \partial_{y} + x \partial_{z}, e_{3} = \frac{1}{2} \partial_{z}$ の括弧積は $[e_{1}, e_{2}] = 2 e_{3}$ だけが $0$ でない。コシュールの公式で $\nabla_{e_{i}} e_{j}$ を求め、座標平面の断面曲率を計算しよう。

ヒント 3

$K_{12} = - 3, K_{13} = K_{23} = 1$ で、リッチ曲率はこの枠で対角になる。 $3$ 次元では単位法ベクトル $n$ の平面の断面曲率が $\frac{S}{2} - Ric (n, n)$ で表せることを使う。

答えと解説

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(- 3, 1)

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解説を読む

正規直交枠. $g = d x^{2} + d y^{2} + 4 (d z - x d y)^{2}$ と書き直せる。実際 $4 (d z - x d y)^{2} = 4 d z^{2} - 8 x d y d z + 4 x^{2} d y^{2}$ である。そこで余枠
$θ^{1} = d x, θ^{2} = d y, θ^{3} = 2 (d z - x d y)$
をとると $g = (θ^{1})^{2} + (θ^{2})^{2} + (θ^{3})^{2}$ 。その双対枠は
$e_{1} = \partial_{x}, e_{2} = \partial_{y} + x \partial_{z}, e_{3} = \frac{1}{2} \partial_{z}$
で、これは $g$ に関する正規直交枠である（ $θ^{3} (e_{2}) = 2 (x - x) = 0$ など）。括弧積は
$[e_{1}, e_{2}] = [\partial_{x}, \partial_{y} + x \partial_{z}] = \partial_{z} = 2 e_{3}, [e_{1}, e_{3}] = [e_{2}, e_{3}] = 0.$

接続. 正規直交枠に対するコシュールの公式
$2 g (\nabla_{e_{i}} e_{j}, e_{k}) = g ([e_{i}, e_{j}], e_{k}) - g ([e_{j}, e_{k}], e_{i}) + g ([e_{k}, e_{i}], e_{j})$
を $a = 2$ （ $[e_{1}, e_{2}] = a e_{3}$ ）として計算すると
$\nabla_{e_{1}} e_{2} = \frac{a}{2} e_{3}, \nabla_{e_{2}} e_{1} = - \frac{a}{2} e_{3}, \nabla_{e_{1}} e_{3} = - \frac{a}{2} e_{2}, \nabla_{e_{3}} e_{1} = - \frac{a}{2} e_{2}, \nabla_{e_{2}} e_{3} = \frac{a}{2} e_{1}, \nabla_{e_{3}} e_{2} = \frac{a}{2} e_{1},$
$\nabla_{e_{i}} e_{i} = 0$ となる（ねじれがないこと $\nabla_{e_{i}} e_{j} - \nabla_{e_{j}} e_{i} = [e_{i}, e_{j}]$ も確かめられる）。

座標平面の断面曲率. $R (X, Y) Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z$ とする。
- $R (e_{1}, e_{2}) e_{2} = 0 - \nabla_{e_{2}} (\frac{a}{2} e_{3}) - a \nabla_{e_{3}} e_{2} = - \frac{a ^{2}}{4} e_{1} - \frac{a ^{2}}{2} e_{1} = - \frac{3 a ^{2}}{4} e_{1}$ より $K_{12} = - \frac{3 a ^{2}}{4} = - 3$ 。
- $R (e_{1}, e_{3}) e_{3} = 0 - \nabla_{e_{3}} (- \frac{a}{2} e_{2}) - 0 = \frac{a ^{2}}{4} e_{1}$ より $K_{13} = \frac{a ^{2}}{4} = 1$ 。
- 同様に $R (e_{2}, e_{3}) e_{3} = - \nabla_{e_{3}} (\frac{a}{2} e_{1}) = \frac{a ^{2}}{4} e_{2}$ より $K_{23} = 1$ 。

また、同様の計算で $g (R (e_{i}, e_{j}) e_{k}, e_{l})$ のうち ${i, j} \neq = {k, l}$ のものはすべて $0$ となり、リッチ曲率は枠 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ で対角化される:
$Ric (e_{1}, e_{1}) = K_{12} + K_{13} = - 2, Ric (e_{2}, e_{2}) = K_{12} + K_{23} = - 2, Ric (e_{3}, e_{3}) = K_{13} + K_{23} = 2.$
スカラー曲率は $S = - 2 - 2 + 2 = - 2$ 。

一般の平面. $3$ 次元では曲率テンソルはリッチ曲率で決まり、単位法ベクトル $n$ をもつ平面 $σ = n^{⊥}$ の断面曲率は
$K (σ) = \frac{S}{2} - Ric (n, n)$
で与えられる（ $n$ を含む正規直交基底 $n, u, v$ をとると $Ric (n, n) = K (n, u) + K (n, v)$ 、 $S = 2 (K (n, u) + K (n, v) + K (u, v))$ から従う）。 $n = n_{1} e_{1} + n_{2} e_{2} + n_{3} e_{3}$ （ $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = 1$ ）とすると
$Ric (n, n) = - 2 n_{1}^{2} - 2 n_{2}^{2} + 2 n_{3}^{2} \in [- 2, 2]$
なので
$K (σ) = - 1 - Ric (n, n) \in [- 3, 1] .$
最小値 $- 3$ は $n = e_{3}$ 、すなわち $σ = span {e_{1}, e_{2}}$ で、最大値 $1$ は $n_{3} = 0$ 、すなわち $e_{3}$ を含む平面で達成される。原点では $e_{1} = \partial_{x}, e_{2} = \partial_{y}, e_{3} = \frac{1}{2} \partial_{z}$ である。

よって $(m, M) = (- 3, 1)$ 。

別解

平方完成すると $g = d x^{2} + d y^{2} + 4 (d z - x d y)^{2}$ （実際 $4 (d z - x d y)^{2} = 4 d z^{2} - 8 x d y d z + 4 x^{2} d y^{2}$ で、 $d y^{2}$ を加えると与えられた計量に一致）。したがって $e^{1} = d x, e^{2} = d y, e^{3} = 2 (d z - x d y)$ は正規直交余枠で、 $d e^{3} = - 2 d x \land d y = - 2 e^{1} \land e^{2}$ 。これはハイゼンベルク群の左不変計量（ $c = 2$ , $d e^{3} = - c e^{1} \land e^{2}$ ）であり、曲率は点によらない。

構造方程式から接続形式を求める: $ω^{3}_{1} = - \frac{c}{2} \cdot (- 1) \dots$ を実行すると、正規直交枠 $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ について $[E_{1}, E_{2}] = c E_{3}$ 型の構造定数をもつ。ミルナーの公式（またはカルタンの構造方程式）より断面曲率は $K (E_{1}, E_{2}) = - \frac{3 c ^{2}}{4} = - 3$ , $K (E_{1}, E_{3}) = K (E_{2}, E_{3}) = \frac{c ^{2}}{4} = 1$ 。リッチ曲率は $Ric = diag (- \frac{c ^{2}}{2}, - \frac{c ^{2}}{2}, \frac{c ^{2}}{2}) = diag (- 2, - 2, 2)$ （この枠で対角、混合成分は $0$ ）、スカラー曲率 $s = - 2$ 。

3 次元では、単位法ベクトル $n = (n_{1}, n_{2}, n_{3})$ をもつ 2 平面 $σ$ の断面曲率は $K (σ) = \frac{s}{2} - Ric (n, n)$ 。ここで $Ric (n, n) = - 2 (n_{1}^{2} + n_{2}^{2}) + 2 n_{3}^{2} = - 2 + 4 n_{3}^{2}$ なので $K (σ) = - 1 - (- 2 + 4 n_{3}^{2}) = 1 - 4 n_{3}^{2}$ 。

$n_{3}^{2} \in [0, 1]$ をすべてとるので、 $K$ の最小値は $n_{3}^{2} = 1$ で $m = - 3$ 、最大値は $n_{3}^{2} = 0$ で $M = 1$ 。

検算: 法線が $E_{3}$ の平面は $E_{1} E_{2}$ 平面で $K = - 3$ 、法線が $E_{2}$ の平面は $E_{1} E_{3}$ 平面で $K = 1$ 。上の個別値と一致。原点でも曲率は一定の構造なので答えは $(m, M) = (- 3, 1)$ 。

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