第二基本形式と法曲率

単位法線 $ν$ を決めて第二基本形式の係数 $L = X_{uu} \cdot ν, M = X_{uv} \cdot ν, N = X_{v v} \cdot ν$ を求められる。接方向 $(d u, d v)$ の法曲率 $k_{n} = \frac{L d u ^{2} + 2 M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + 2 F d u d v + G d v ^{2}}$ を計算できる

前提

第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）

説明

第一基本形式が曲面上の長さ・角を測る道具だったのに対し、第二基本形式 $L d u^{2} + 2 M d u d v + N d v^{2}$ は、曲面が法線方向にどれだけ曲がっているかを測る道具です。単位法線 $ν$ を決めて $L = X_{uu} \cdot ν, M = X_{uv} \cdot ν, N = X_{v v} \cdot ν$ を求めれば、接方向 $(d u, d v)$ ごとの曲がり具合（法曲率） $k_{n} = \frac{L d u ^{2} + 2 M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + 2 F d u d v + G d v ^{2}}$ が計算できます。法曲率は、主曲率・ガウス曲率・平均曲率など、曲面の曲がり方を表す量すべての出発点になります。

なぜそうしてよいのか

曲面 $X (u, v)$ 上の曲線 $γ (s) = X (u (s), v (s))$ を、弧長 $s$ でパラメータ付けしておきます（ $∣ γ^{'} (s) ∣ = 1$ ）。このとき加速度 $γ^{''} (s)$ の大きさが曲線の曲率で、その法線方向の成分 $k_{n} = γ^{''} \cdot ν$ を法曲率と呼びます。これは「曲線が曲面に沿うために、法線方向にどれだけ曲がらざるをえないか」を表します。連鎖律で 2 回微分すると
$γ^{''} = X_{uu} u^{'2} + 2 X_{uv} u^{'} v^{'} + X_{v v} v^{'2} + X_{u} u^{''} + X_{v} v^{''}$
です。 $X_{u}, X_{v}$ は接ベクトルなので $ν$ と直交し、最後の 2 項は $ν$ との内積で消えます。よって $k_{n} = L u^{'2} + 2 M u^{'} v^{'} + N v^{'2}$ となり、法曲率は曲線の 2 階微分 $u^{''}, v^{''}$ によらず、接方向 $(u^{'}, v^{'})$ だけで決まることがわかります。

弧長でない一般のパラメータ $t$ を使うときは、 $\frac{d u}{d s} = \frac{d u / d t}{d s / d t}$ で、 $(\frac{d s}{d t})^{2} = E u ˙^{2} + 2 F u ˙ v ˙ + G v ˙^{2}$ （第一基本形式）です。上の式は $u^{'}, v^{'}$ について 2 次の同次式なので、分母にこれをおいて
$k_{n} = \frac{L u ˙ ^{2} + 2 M u ˙ v ˙ + N v ˙ ^{2}}{E u ˙ ^{2} + 2 F u ˙ v ˙ + G v ˙ ^{2}}$
となります。分子も分母も 2 次の同次式なので、方向 $(d u, d v)$ を何倍しても値は変わりません。つまり $k_{n}$ は「方向」だけの関数です。

なお単位法線は $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ と $ν$ の逆向き $- ν$ の 2 通りの選び方があり、 $ν$ を逆向きにすると $L, M, N$ と $k_{n}$ の符号がすべて反転します。したがって法曲率の値は、どちらの $ν$ を選んだかを明示して初めて決まります。また $X_{u} \cdot ν = 0$ を $u$ で微分すると $X_{uu} \cdot ν = - X_{u} \cdot ν_{u}$ となるので、 $L = - X_{u} \cdot ν_{u}$ のように計算してもかまいません。

手順

$X_{u}, X_{v}$ を計算し、考える点での第一基本形式の係数 $E = X_{u} \cdot X_{u}, F = X_{u} \cdot X_{v}, G = X_{v} \cdot X_{v}$ を求める
単位法線 $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ を求める（問題で向きが指定されていればそれに合わせる）
2 階偏導関数 $X_{uu}, X_{uv}, X_{v v}$ を計算し、 $L = X_{uu} \cdot ν, M = X_{uv} \cdot ν, N = X_{v v} \cdot ν$ を求める
接方向 $(d u, d v)$ を代入して $k_{n} = \frac{L d u ^{2} + 2 M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + 2 F d u d v + G d v ^{2}}$ を計算する

例題

曲面 $X (u, v) = (u, v, u^{2} + 3 v^{2})$ の点 $(u, v) = (1, 0)$ において、単位法線を $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ と定める。接方向 $(d u, d v) = (1, 1)$ の法曲率 $k_{n}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $X_{u} = (1, 0, 2 u), X_{v} = (0, 1, 6 v)$ 。点 $(1, 0)$ では $X_{u} = (1, 0, 2), X_{v} = (0, 1, 0)$ なので
$E = 1 + 0 + 4 = 5, F = 0, G = 1.$

【手順 2】 $X_{u} \times X_{v} = (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 2, 0, 1)$ 、その大きさは $5$ 。よって $ν = \frac{1}{5} (- 2, 0, 1)$ 。

【手順 3】 $X_{uu} = (0, 0, 2), X_{uv} = (0, 0, 0), X_{v v} = (0, 0, 6)$ より
$L = \frac{2}{5}, M = 0, N = \frac{6}{5} .$

【手順 4】 $(d u, d v) = (1, 1)$ を代入すると
$k_{n} = \frac{\frac{2}{5} + 0 + \frac{6}{5}}{5 + 0 + 1} = \frac{8}{6 5} = \frac{4}{3 5} = \frac{4 5}{15} .$

答え: $\frac{4 5}{15}$

よくある誤り

法線を正規化せずに $X_{u} \times X_{v}$ のまま内積をとってしまう誤り。例題では $X_{uu} \cdot (X_{u} \times X_{v}) = 2$ だが、正しくは単位法線を使って $L = \frac{2}{5}$ 。正規化を忘れると $k_{n}$ が $∣ X_{u} \times X_{v} ∣$ 倍になる
分母の第一基本形式を省き、 $k_{n} = L d u^{2} + 2 M d u d v + N d v^{2}$ としてしまう誤り。これは $(d u, d v)$ が弧長に関する速度（ $E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2} = 1$ ）のときだけ正しい。例題で分母を省くと $\frac{8}{5}$ となり誤りで、正しくは $\frac{8/ 5}{6}$
中央の項の係数 2 を落とし、 $k_{n} = \frac{L d u ^{2} + M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + F d u d v + G d v ^{2}}$ としてしまう誤り。 $M \neq = 0$ や $F \neq = 0$ のとき値が変わる。正しくは分子・分母とも $2 M d u d v$ 、 $2 F d u d v$
法線の向きを気にせずに符号を答えてしまう誤り。 $ν$ を $- ν$ に替えると $L, M, N, k_{n}$ の符号がすべて反転する。例題で $ν = \frac{1}{5} (2, 0, - 1)$ を選ぶと $k_{n} = - \frac{4 5}{15}$ になるので、指定された向きの $ν$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 内の曲面を
$X (u, v) = (u, v, 2 u^{2} + 3 uv) ((u, v) \in R^{2})$
でパラメータ表示し、単位法線を $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ と定める。原点 $X (0, 0) = (0, 0, 0)$ における、接方向 $(d u, d v) = (1, 1)$ （すなわち接ベクトル $X_{u} + X_{v}$ の方向）の法曲率 $k_{n}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウス曲率と平均曲率（大学院数学微分幾何）
曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）