第一基本形式とリーマン計量

曲面 $X (u, v)$ の第一基本形式 $E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2}$ （ $E = X_{u} \cdot X_{u}$ など）を求められる。また抽象的に与えられた計量（例: $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ ）について、曲線の長さ、2 つの接ベクトルのなす角、面積 $\iint E G - F^{2} d u d v$ を計算できる

前提

曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

説明

曲面上の長さ・角・面積を、曲面の外側の空間を使わずに、媒介変数 $(u, v)$ の世界だけで計算するための道具が第一基本形式です。曲面 $X (u, v)$ が与えられたら $E = X_{u} \cdot X_{u}, F = X_{u} \cdot X_{v}, G = X_{v} \cdot X_{v}$ を求めて $d s^{2} = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2}$ を作ります。さらに、曲面がなくても $E, F, G$ という関数を最初から与えてしまえば（リーマン計量）、たとえば上半平面の $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ のような「ふつうとは違う長さの測り方」でも、曲線の長さ・接ベクトルのなす角・領域の面積を同じ手順で計算できます。

なぜそうしてよいのか

曲面上の曲線を $(u (t), v (t))$ で表すと、空間内の曲線は $X (u (t), v (t))$ で、連鎖律よりその速度は $\frac{d}{d t} X = X_{u} u^{'} + X_{v} v^{'}$ です。速さの 2 乗は内積を展開して
$∣ X_{u} u^{'} + X_{v} v^{'} ∣^{2} = (X_{u} \cdot X_{u}) u^{'2} + 2 (X_{u} \cdot X_{v}) u^{'} v^{'} + (X_{v} \cdot X_{v}) v^{'2} = E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2}$
となります。したがって曲線の長さは $\int E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2} d t$ で、空間座標を使わず $E, F, G$ だけで書けます。同様に、 $(u, v)$ 平面のベクトル $a = (a_{1}, a_{2})$ を接ベクトル $a_{1} X_{u} + a_{2} X_{v}$ と同一視すると、2 つの接ベクトルの内積は $⟨ a, b ⟩ = E a_{1} b_{1} + F (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) + G a_{2} b_{2}$ となり、なす角は $cos θ = \frac{⟨ a , b ⟩}{⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩}$ で求まります。

面積も同じです。前提の技能で学んだ面積要素 $∣ X_{u} \times X_{v} ∣ d u d v$ について、外積の大きさの公式 $∣ p \times q ∣^{2} = ∣ p ∣^{2} ∣ q ∣^{2} - (p \cdot q)^{2}$ を使うと $∣ X_{u} \times X_{v} ∣^{2} = E G - F^{2}$ なので、面積は $\iint E G - F^{2} d u d v$ です。

このように長さ・角・面積が $E, F, G$ だけで決まるので、逆に「各点 $(u, v)$ で $E > 0, G > 0, E G - F^{2} > 0$ をみたす関数 $E, F, G$ 」を与えれば、それを内積の定め方とみなして長さ・角・面積を定義できます。これがリーマン計量で、たとえば $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ （ $y > 0$ ）は $E = G = \frac{1}{y ^{2}}, F = 0$ という計量です。条件 $E > 0, E G - F^{2} > 0$ は、どの 0 でない接ベクトルの長さの 2 乗も正になるために必要十分です。

手順

計量の係数 $E, F, G$ を求める。曲面 $X (u, v)$ なら $X_{u}, X_{v}$ を計算して $E = X_{u} \cdot X_{u}, F = X_{u} \cdot X_{v}, G = X_{v} \cdot X_{v}$ 。計量 $d s^{2}$ が直接与えられたら、 $d u^{2}$ の係数を $E$ 、 $d u d v$ の係数の半分を $F$ 、 $d v^{2}$ の係数を $G$ と読む
曲線の長さ: 曲線を $(u (t), v (t)) (a \leq t \leq b)$ と表し、 $u^{'}, v^{'}$ を代入して $L = \int_{a}^{b} E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2} d t$ を計算する（ $E, F, G$ は曲線上の点 $(u (t), v (t))$ での値）
なす角: 点を決めてその点での $E, F, G$ の値を求め、接ベクトル $a, b$ について $⟨ a, b ⟩ = E a_{1} b_{1} + F (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) + G a_{2} b_{2}$ を計算し、 $cos θ = \frac{⟨ a , b ⟩}{⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩}$ から $θ$ を求める
面積: 領域 $D$ 上で $\iint_{D} E G - F^{2} d u d v$ を累次積分で計算する

例題

上半平面 ${(x, y) ∣ y > 0}$ に計量 $d s^{2} = \frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ を考える。曲線 $c (t) = (t, t) (1 \leq t \leq e)$ のこの計量に関する長さを求めよ。

例題の解答

【手順 1】計量の係数を読む。 $d x^{2}$ の係数が $E = \frac{1}{y ^{2}}$ 、 $d x d y$ の項はないので $F = 0$ 、 $d y^{2}$ の係数が $G = \frac{1}{y ^{2}}$ である。

【手順 2】曲線の長さを計算する。 $x (t) = t, y (t) = t$ より $x^{'} = 1, y^{'} = 1$ 。曲線上では $y = t$ なので $E = G = \frac{1}{t ^{2}}$ である。よって
$E x^{'2} + 2 F x^{'} y^{'} + G y^{'2} = \frac{1}{t ^{2}} \cdot 1 + 0 + \frac{1}{t ^{2}} \cdot 1 = \frac{2}{t ^{2}}$
となり、 $t > 0$ だから $\frac{2}{t ^{2}} = \frac{2}{t}$ 。したがって
$L = \int_{1}^{e} \frac{2}{t} d t = 2 [lo g t]_{1}^{e} = 2 (1 - 0) = 2 .$
（ふつうのユークリッド的な長さは $2 (e - 1)$ であり、計量が変わると長さが変わることがわかる。）

答え: $2$

よくある誤り

$d u d v$ の係数をそのまま $F$ としてしまう誤り。第一基本形式は $E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2}$ なので、たとえば $d s^{2} = d u^{2} + d u d v + d v^{2}$ なら $F = \frac{1}{2}$ であり、 $E G - F^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ となる（ $F = 1$ とすると $E G - F^{2} = 0$ になってしまう）
長さを $\int (E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2}) d t$ と根号を付けずに積分してしまう誤り。 $d s^{2}$ は長さの 2 乗なので、正しくは $L = \int E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2} d t$ 。例題なら $\int_{1}^{e} \frac{2}{t ^{2}} d t$ ではなく $\int_{1}^{e} \frac{2}{t} d t$
面積要素を $E G d u d v$ や $(E G - F^{2}) d u d v$ としてしまう誤り。正しくは $E G - F^{2} d u d v$ で、 $F \neq = 0$ のときは $F^{2}$ を引くこと、根号を付けることを忘れない。たとえば計量 $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ の面積要素は $\frac{1}{y ^{2}} d x d y$ （ $\frac{1}{y ^{4}} = \frac{1}{y ^{2}}$ ）
なす角を、 $(u, v)$ 平面のふつうの内積 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ で計算してしまう誤り。正しくは $E, F, G$ を使った $⟨ a, b ⟩ = E a_{1} b_{1} + F (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) + G a_{2} b_{2}$ で計算する。たとえば $E = 1, F = 1, G = 2$ の点で $a = (1, 0), b = (0, 1)$ は、ふつうの内積では直交するが、 $⟨ a, b ⟩ = 1$ なので $cos θ = \frac{1}{1 2}$ 、 $θ = \frac{π}{4}$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
開円板 $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} < 1}$ にリーマン計量
$g = \frac{4 ( d x ^{2} + d y ^{2} )}{( 1 - x ^{2} - y ^{2} ) ^{2}}$
を入れる。 $D$ 内の線分
$C = {(t, 0) 0 \leq t \leq \frac{1}{2}}$
の、計量 $g$ に関する長さ $L$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）
計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）（大学院数学微分幾何）