微分幾何の問題

1. 円錐面の展開. $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと $S$ 上で $z=4\sqrt{3}\rho$。母線と軸のなす角を $\alpha$ とすると $\tan \alpha =\frac{\rho }{z}=\frac{1}{4\sqrt{3}}$ より $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+48}}=\frac{1}{7}$。
頂点からの距離 $\ell =\sqrt{{\rho }^2+z^2}=7\rho$ と回転角 $\theta$ を用いて $S$ を
$$(\ell ,\theta )\mapsto \left(\frac{\ell }{7}\cos \theta ,\frac{\ell }{7}\sin \theta ,\frac{4\sqrt{3}}{7}\ell \right)(\ell >0)$$
と表すと、第一基本形式は $d{\ell }^2+\frac{{\ell }^2}{49}d{\theta }^2$。$\phi =\theta /7$ とおくと $d{\ell }^2+{\ell }^{2}d{\phi }^2$ となり、これは平面の極座標の計量である。$\theta \in \mathbb{R}$（すなわち $\phi \in \mathbb{R}$）を許した $S$ の普遍被覆（$(\ell ,\phi )\in (0,\infty )\times \mathbb{R}$ で表されるらせん状の面）は、局所的に平面の極座標 $(\ell ,\phi )$ と等長である。$S$ 上の点は、$(\ell ,\phi )$ と $(\ell ,\phi +\frac{2\pi }{7}k)(k\in \mathbb{Z})$ を同一視したものである。

2. 測地線の像. 測地線は展開図（局所的には平面）で直線になる。$\gamma (0)$ は $\ell =7,\phi =0$ に対応し、${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ は水平な円の接線方向、すなわち母線に垂直な方向である。よって展開図で $\gamma$ は、原点からの距離が $7$ で、点 $(\ell ,\phi )=(7,0)$ において動径に垂直な直線
$$\ell \cos \phi =7,-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$$
である。この直線は頂点を通らないので $\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義され、$s$ と $\phi$ は一対一に対応する（$s=7\tan \phi$）。

3. 自己交差の条件. ${\phi }_1\ne {\phi }_2$ が $S$ 上の同じ点に対応する条件は
$$\ell ({\phi }_1)=\ell ({\phi }_2),{\phi }_2-{\phi }_1\in \frac{2\pi }{7}\mathbb{Z}.$$
第 1 式は $\cos {\phi }_1=\cos {\phi }_2$ であり、$|{\phi }_i|<\frac{\pi }{2}$ なので ${\phi }_2=-{\phi }_1$。これと第 2 式から、$k$ を正の整数として ${\phi }_2=\frac{k\pi }{7},{\phi }_1=-\frac{k\pi }{7}$。条件 $\frac{k\pi }{7}<\frac{\pi }{2}$ より $k<\frac{7}{2}$、すなわち $k=1,2,3$。

各 $k$ に対応する点では $\ell =\frac{7}{\cos (k\pi /7)}$ が $k$ ごとに異なるので、$3$ つの点は互いに異なる。また $\ell$ の値が等しくなる $\phi$ は $\pm \phi$ の $2$ つだけなので、各点はちょうど $2$ 回通過される。

よって求める点の個数は $3$。

円錐面 $S$ 上の点の頂点からの距離を $\ell$、軸との半頂角を $\alpha$ とすると $\sin \alpha =r/\sqrt{r^2+z^2}=1/\sqrt{1+48}=1/7$。$S$ を頂点から切り開くと中心角 $2\pi \sin \alpha =2\pi /7$ の扇形になるので、$S$ は平面 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ を原点まわりの $2\pi /7$ 回転 $R$ が生成する位数 7 の巡回群 $⟨R⟩$ で割った商と等長である（被覆 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}\to S$ は 7 重）。\n\n測地線 $\gamma$ は平面上の直線 $L$ の像になる。初期条件 ${\gamma }^{\prime }(0)$ は母線に垂直（$(1,0,4\sqrt{3})$ における母線方向は $(1,0,4\sqrt{3})$ で ${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ は回転方向）なので、$L$ は頂点から距離 $d=|\gamma (0)|>0$ にある直線（原点を通らない）であり、$\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される。\n\n$\gamma (s_1)=\gamma (s_2)$, $s_1\ne s_2$ となる点は、$L$ 上の点 $q$ で、ある $j\in \{1,\dots ,6\}$ について $R^{j}q\in L$ となるものの像である。すなわち $q\in L\cap R^{-j}L$。$R^{-j}L$ は $L$ と法線方向が角 $2\pi j/7$ だけずれた原点からの距離 $d$ の直線で、7 は奇数なので平行にならず、$L$ とただ 1 点 $P_j$ で交わる。$L$ の足から測って $P_j$ の位置は $d\tan (\pi j/7)$ であり、$j=1,\dots ,6$ で互いに異なる（$\tan$ は $(0,\pi )\setminus \{\pi /2\}$ 上で単射）。したがって $L$ 上に 6 個の点 $P_1,\dots ,P_6$ がある。\n\n$R^j{P}_j\in L\cap R^{j}L=P_{7-j}$ なので、$S$ 上では $P_j$ と $P_{7-j}$ が同じ点になる（これらは $L$ 上で異なる点なので、$s_1\ne s_2$ となる）。一方、原点からの距離 $|P_j|=d/\cos (\pi j/7)$ は $j=1,2,3$ で互いに異なるので、$\{P_1,P_6\},\{P_2,P_5\},\{P_3,P_4\}$ は $S$ 上の相異なる 3 点を与える。（一般に角 $2\pi /n$ の円錐では $\lfloor (n-1)/2\rfloor$ 個。）\n\n検算：$n=7$ で $\lfloor 6/2\rfloor =3$。3 重以上の通過は上の距離の相違から起きない。\n\n答え：$3$