極座標

極座標 $(r, θ)$ と直交座標を $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ で互いに変換し、2 点間の距離や $△ O A B = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin (θ_{2} - θ_{1})$ を求められる

前提

弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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説明

平面上の点の位置を、原点 $O$ からの距離 $r$ と、 $x$ 軸の正の向きから測った角 $θ$ の組 $(r, θ)$ で表す方法を極座標といいます。 $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ を使うと、極座標と直交座標 $(x, y)$ を行き来できます。さらに、原点と 2 点がつくる三角形を考えると、極座標のまま 2 点間の距離や $△ O A B$ の面積を直接求められます。回転や角度が主役になる図形の問題で特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

平面上に点 $O$ （極）と、 $O$ から出る半直線 $O X$ （始線。ふつうは $x$ 軸の正の部分）を決めます。 $O$ と異なる点 $P$ について、 $r = O P$ （ $r > 0$ ）、 $θ$ を始線 $O X$ から半直線 $O P$ まで反時計回りを正として測った角（偏角）とし、 $P$ を $(r, θ)$ と表します。 $θ$ には $2 π$ の整数倍だけ違う値もすべて同じ向きを表すので、ふつうは $0 \leq θ < 2 π$ などに範囲を決めます。点 $O$ 自身は $r = 0$ で、 $θ$ は何でもよいとします。

単位円上で角 $θ$ の位置にある点は $(cos θ, sin θ)$ でした。点 $P$ は同じ向きで原点からの距離が $r$ 倍なので、座標も $r$ 倍して $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ となります。逆に $(x, y)$ から戻すときは、三平方の定理で $r = x^{2} + y^{2}$ 、角は $cos θ = \frac{x}{r}$ , $sin θ = \frac{y}{r}$ を両方満たす $θ$ を選びます。

2 点 $A (r_{1}, θ_{1})$ , $B (r_{2}, θ_{2})$ と $O$ で三角形を考えると、 $O A = r_{1}$ , $O B = r_{2}$ で、 $∠ A O B$ は偏角の差 $θ_{2} - θ_{1}$ から決まります（ $∠ A O B$ は $0$ 以上 $π$ 以下なので、差そのものか $2 π$ から引いたものなどになりますが、 $cos$ は偶関数で周期 $2 π$ なので $cos ∠ A O B = cos (θ_{2} - θ_{1})$ が常に成り立ちます）。余弦定理から $A B^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos (θ_{2} - θ_{1})$ 。また面積は $\frac{1}{2} ab sin C$ より $△ O A B = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin ∠ A O B = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} ∣ sin (θ_{2} - θ_{1}) ∣$ で、 $0 < θ_{2} - θ_{1} < π$ となるように並べれば絶対値なしで $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin (θ_{2} - θ_{1})$ と書けます。

手順

問題の点が極座標 $(r, θ)$ か直交座標 $(x, y)$ かを確認し、 $r$ （距離）と $θ$ （偏角）を読み取る
極座標→直交座標は $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ で計算する
直交座標→極座標は $r = x^{2} + y^{2}$ とし、 $cos θ = \frac{x}{r}$ , $sin θ = \frac{y}{r}$ を両方満たす $θ$ を（ $0 \leq θ < 2 π$ などの範囲で）選ぶ
2 点 $A (r_{1}, θ_{1})$ , $B (r_{2}, θ_{2})$ の距離は $A B = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos (θ_{2} - θ_{1})$ で求める
$△ O A B$ の面積は $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} ∣ sin (θ_{2} - θ_{1}) ∣$ で求める（ $0 < θ_{2} - θ_{1} < π$ なら絶対値は不要）

例題

極座標で表された 2 点 $A (2, \frac{π}{6})$ , $B (3, \frac{π}{2})$ と極 $O$ を頂点とする $△ O A B$ の面積を求めよ。

例題の解答

手順 1： $A$ は $r_{1} = 2$ , $θ_{1} = \frac{π}{6}$ 、 $B$ は $r_{2} = 3$ , $θ_{2} = \frac{π}{2}$ である。

手順 5：偏角の差は $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ で、 $0 < \frac{π}{3} < π$ なので $∠ A O B = \frac{π}{3}$ 。よって
$△ O A B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot sin \frac{π}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2}$

（確かめ：手順 2 で直交座標にすると $A = (2 cos \frac{π}{6}, 2 sin \frac{π}{6}) = (3, 1)$ , $B = (0, 3)$ 。 $O B$ を底辺 $3$ とみると高さは $A$ の $x$ 座標 $3$ なので面積は $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{3 3}{2}$ で一致する。）

答え: $\frac{3 3}{2}$

よくある誤り

$tan θ = \frac{y}{x}$ だけで偏角を決めてしまう誤り。例えば $(- 1, - 1)$ で $tan θ = 1$ から $θ = \frac{π}{4}$ とするのは誤りで、 $cos θ = - \frac{1}{2}$ , $sin θ = - \frac{1}{2}$ を満たす $θ = \frac{5 π}{4}$ （ $r = 2$ ）が正しい
偏角の差を逆にして面積が負になる、または差が $π$ を超えるのに絶対値を付けない誤り。例えば $θ_{1} = \frac{π}{2}$ , $θ_{2} = \frac{π}{6}$ で $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin (- \frac{π}{3}) < 0$ としてしまう。正しくは $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} ∣ sin (θ_{2} - θ_{1}) ∣$
直交座標と同じように成分の差で距離を計算してしまう誤り。 $A B = (r_{2} - r_{1})^{2} + (θ_{2} - θ_{1})^{2}$ は誤りで、正しくは余弦定理から $A B = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos (θ_{2} - θ_{1})$
$x = r sin θ$ , $y = r cos θ$ と $sin$ と $cos$ を入れ替えてしまう誤り。単位円上の点が $(cos θ, sin θ)$ なので、正しくは $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

極方程式（数学C 平面上の曲線）
原点を除いた平面の場と偏角（大学数学ベクトル解析）
展開図（局所等長写像）による測地線（大学院数学微分幾何）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））