平面上の曲線の問題

極座標 $(r,\theta )$ で表された点は、極 $\mathrm{O}$ からの距離が $r$、始線から測った角が $\theta$ の点である。

手順1：辺の長さを読み取る

点 $\mathrm{A}\left(3,\frac{\pi }{12}\right)$ より $\mathrm{OA}=3$、点 $\mathrm{B}\left(4,\frac{3}{4}\pi \right)$ より $\mathrm{OB}=4$ である。

手順2：はさむ角を求める

$\mathrm{OA}$ は始線から $\frac{\pi }{12}$、$\mathrm{OB}$ は始線から $\frac{3}{4}\pi$ の向きにある。よって、2 つの辺がはさむ角は
$$\angle \mathrm{AOB}=\frac{3}{4}\pi -\frac{\pi }{12}=\frac{9\pi }{12}-\frac{\pi }{12}=\frac{8\pi }{12}=\frac{2}{3}\pi$$
である。$0<\frac{2}{3}\pi <\pi$ なので、この角がそのまま三角形の内角 $\angle \mathrm{AOB}$ になる。

手順3：面積の公式に代入する

2 辺とそのはさむ角から、三角形の面積は $\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)$ で求められる。$\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので
$$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin \frac{2}{3}\pi =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$
となる。

よって、求める面積は $3\sqrt{3}$ である。

2 点 A, B の極座標より OA = 3, OB = 4 であり、∠AOB は偏角の差で $\frac{3}{4}\pi -\frac{\pi }{12}=\frac{9\pi -\pi }{12}=\frac{2}{3}\pi$ となる。

面積は $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin \frac{2}{3}\pi =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。

検算：直交座標で $\mathrm{A}=(3\cos 15^{\circ },3\sin 15^{\circ })$, $\mathrm{B}=(4\cos 135^{\circ },4\sin 135^{\circ })$ とすると、外積は $12(\cos 15^{\circ }\sin 135^{\circ }-\sin 15^{\circ }\cos 135^{\circ })=12\sin (135^{\circ }-15^{\circ })=12\sin 120^{\circ }=6\sqrt{3}$。面積はその半分で $3\sqrt{3}$ となり、一致する。