平面上の曲線の問題

放物線は、定点 $\mathrm{F}$（焦点）と、$\mathrm{F}$ を通らない定直線 $\ell$（準線）からの距離が等しい点の軌跡です。

焦点が $(0,p)$、準線が $y=-p$ のとき、放物線上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ は $\sqrt{x^2+(y-p{)}^2}=|y+p|$ を満たします。両辺を 2 乗して整理すると $x^2=4py$ となります。

つまり、放物線 $x^2=4py$ の焦点は $(0,p)$、準線は $y=-p$ です。

与えられた放物線 $x^2=-6y$ を $x^2=4py$ と比べると、
$$4p=-6$$
より
$$p=-\frac{3}{2}$$
です。

したがって、焦点の座標は $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ です。

（参考）準線は $y=\frac{3}{2}$ です。$p<0$ なので、この放物線は下に開いており、焦点は原点より下にあります。

放物線 $x^2=4py$ の焦点は $(0,p)$ である。$x^2=-6y$ より $4p=-6$ なので $p=-\frac{3}{2}$。よって焦点は $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ で、準線は $y=\frac{3}{2}$。検算：焦点 $(0,-\frac{3}{2})$ と点 $(0,0)$ の距離は $\frac{3}{2}$、準線 $y=\frac{3}{2}$ までの距離も $\frac{3}{2}$ で等しい。また点 $(\sqrt{6},-1)$ は $6=-6\cdot (-1)$ を満たし、焦点までの距離は $\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}$、準線までの距離は $\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$ で一致する。