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平面上の曲線

扱うテーマ: 放物線・楕円・双曲線の方程式と焦点、2 次曲線と直線の共有点、2 次曲線の接線、媒介変数表示、極座標と極方程式

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $x^{2} = - 6 y$ の焦点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、焦点が点 $F (0, 2)$ 、準線が直線 $y = - 2$ である放物線を考える。この放物線の方程式を求め、 $y$ を $x$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $x^{2} = - 6 y$ の焦点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $F (2, 0)$ , $F^{'} (- 2, 0)$ がある。 $PF + P F^{'} = 6$ を満たす点 $P$ の軌跡は、楕円
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$
である。 $a^{2}$ と $b^{2}$ の値を、この順に組 $(a^{2}, b^{2})$ の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a > b > 0$ とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点が $2$ 点 $F (2, 0)$ , $F^{'} (- 2, 0)$ であり、この楕円は点 $P (2, 3)$ を通る。 $a$ , $b$ の値をこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 点 $F (2, 0)$ , $F^{'} (- 2, 0)$ を焦点とし、点 $A (2, 3)$ を通る楕円がある。この楕円の方程式を $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ の形で表すとき、 $a^{2}$ と $b^{2}$ の値をこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標において、2 点 $A (2, \frac{π}{6})$ , $B (4, \frac{π}{2})$ をとる。2 点 $A$ , $B$ 間の距離 $AB$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$O$ を極とする極座標において、2 点 $A (3, \frac{π}{12})$ , $B (4, \frac{3}{4} π)$ をとる。 $△ OAB$ の面積を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標を考える。極座標が $(4, \frac{π}{6})$ である点を $A$ 、 $(3, \frac{π}{2})$ である点を $B$ とする。2 点 $A$ , $B$ 間の距離 $AB$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $F (13, 0)$ , $F^{'} (- 13, 0)$ がある。 $∣ PF - P F^{'} ∣ = 4$ を満たす点 $P$ の軌跡は、 $a > 0$ , $b > 0$ として双曲線
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
で表される。この双曲線の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a > 0$ , $b > 0$ とする。座標平面上の双曲線
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
の焦点は $(25, 0)$ , $(- 25, 0)$ で、漸近線は 2 直線 $y = 2 x$ , $y = - 2 x$ である。 $a$ , $b$ の値を求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $F (13, 0)$ , $F^{'} (- 13, 0)$ がある。 $∣ PF - P F^{'} ∣ = 4$ を満たす点 $P$ の軌跡は、 $a > 0$ , $b > 0$ として双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ で表される。この双曲線の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = 4 sin θ$
で表される曲線を $C$ 、極方程式
$r sin (θ + \frac{π}{3}) = 2$
で表される図形を $ℓ$ とする。 $C$ と $ℓ$ の 2 つの交点を $A$ , $B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = 4 sin θ$
で表される曲線を $C$ 、極方程式
$r cos (θ - \frac{π}{6}) = 2$
で表される図形を $ℓ$ とする。 $ℓ$ が $C$ から切り取る線分（弦）の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = 4 sin θ$
で表される曲線を $C$ 、極方程式
$r cos (θ - \frac{π}{4}) = 22$
で表される図形を $ℓ$ とする。 $C$ と $ℓ$ は 2 点で交わる。このとき、 $ℓ$ が $C$ から切り取る弦の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0$ の焦点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
楕円 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1$ の 2 つの焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $F$ 、負のものを $F^{'}$ とする。この楕円上の点 $P$ が $PF = 3$ を満たすとき、 $cos ∠ FP F^{'}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
楕円 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1$ の $2$ つの焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $F$ 、負のものを $F^{'}$ とする。この楕円上の点 $P$ が $PF = 2$ を満たすとき、 $cos ∠ FP F^{'}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
楕円 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1$ の 2 つの焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $F$ 、負のものを $F^{'}$ とする。この楕円上の点 $P$ が $PF = 3$ を満たすとき、 $cos ∠ FP F^{'}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。放物線 $y^{2} = 8 x$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{12} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、点 $F (1, 0)$ と直線 $ℓ : x = 4$ がある。点 $P$ から直線 $ℓ$ に下ろした垂線を $PH$ とする。 $PF : PH = 1 : 2$ を満たす点 $P$ の軌跡は、楕円
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$
になる。 $a, b$ の値を求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に点 $F (2, 0)$ と直線 $ℓ : x = 8$ がある。点 $P$ から直線 $ℓ$ に下ろした垂線を $PH$ とする。 $PF : PH = 1 : 2$ を満たす点 $P$ の軌跡は楕円
$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$
になる。 $a, b$ の値を、組 $(a, b)$ の形でこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、点 $F (1, 0)$ と直線 $ℓ : x = 4$ がある。点 $P$ から直線 $ℓ$ に下ろした垂線を $PH$ とする。 $PF : PH = 1 : 2$ を満たす点 $P$ の軌跡は楕円になる。この楕円の方程式を
$\frac{x ^{2}}{A} + \frac{y ^{2}}{B} = 1$
の形で表すとき、 $A, B$ の値を求め、組 $(A, B)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
点 $P (x, y)$ が楕円 $\frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1$ の上を動くとき、 $x + y$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の楕円 $\frac{x ^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上を点 $P (x, y)$ が動くとき、 $x + y$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の上を点 $P (x, y)$ が動くとき、 $x + y$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と直線 $y = x + 1$ は異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わる。線分 $PQ$ の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y^{2} = 8 x$ と直線 $y = x - 2$ は異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わる。線分 $PQ$ の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y^{2} = 4 x$ と直線 $y = x - 1$ は異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わる。線分 $PQ$ の長さを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の放物線 $y^{2} = 12 x$ 上の点 $(12, 12)$ における接線を $y = m x + n$ と表す。定数 $m$ , $n$ の組 $(m, n)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 上の点 $(2, 1)$ における接線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、 $m, n$ の値を求めよ。答えは組 $(m, n)$ の形で書け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の楕円 $C : \frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 上の点 $A (2, 1)$ における $C$ の接線を、 $y = m x + n$ の形で表す。定数 $m$ , $n$ の値を、組 $(m, n)$ の形でこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
媒介変数 $θ$ を用いて
$x = sin θ - cos θ, y = sin θ cos θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$
と表される曲線を $C$ とする。媒介変数 $θ$ を消去すると、 $C$ は放物線 $y = a x^{2} + b$ の $p ≦ x ≦ q$ の部分になる。定数 $a, b, p, q$ の組 $(a, b, p, q)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
媒介変数 $θ$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ を用いて
$x = cos θ - sin θ, y = sin 2 θ$
と表される曲線を $C$ とする。曲線 $C$ は、ある 2 次関数 $y = f (x)$ のグラフのうち $p ≦ x ≦ q$ の部分である。 $f (x)$ 、 $p$ 、 $q$ を組 $(f (x), p, q)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
媒介変数 $θ$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ を用いて
$x = sin θ - cos θ, y = sin 2 θ$
と表される曲線を $C$ とする。媒介変数 $θ$ を消去すると、曲線 $C$ は
$y = a x^{2} + b x + c (p ≦ x ≦ q)$
と表される。ただし $a, b, c, p, q$ は実数の定数で、 $p < q$ とする。組 $(a, b, c, p, q)$ をこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = \frac{6}{1 + 2 cos θ}$
で表される曲線を $C$ とする。ただし、 $r < 0$ のときは、点 $(r, θ)$ は点 $(- r, θ + π)$ と同じ点を表すものとする。 $C$ を直交座標 $(x, y)$ の方程式で表すと双曲線になる。この双曲線の中心の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = \frac{6}{2 - cos θ}$
で表される曲線 $C$ を直交座標 $(x, y)$ の方程式で表すと
$\frac{( x - p ) ^{2}}{A} + \frac{y ^{2}}{B} = 1$
の形になる。定数 $p, A, B$ の値を、組 $(p, A, B)$ の形でこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = \frac{5}{3 - 2 cos θ}$
で表される曲線を $C$ とする。 $C$ を直交座標 $(x, y)$ の方程式で表すと
$\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$
の形になる。 $p, a^{2}, b^{2}$ の値を、組 $(p, a^{2}, b^{2})$ の形でこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の楕円 $C : \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ と、 $C$ の外部の点 $P (p, 4)$ がある。ただし $p$ は正の実数とする。 $P$ から $C$ に引いた 2 本の接線が互いに直交するとき、2 つの接点を $A$ , $B$ とする。直線 $AB$ の方程式を $y = (x の式)$ の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に楕円 $C : \frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ がある。 $t$ を正の実数とし、点 $P (1, t)$ から $C$ に 2 本の接線を引いたところ、その 2 本の接線は直交した。2 つの接点を $A$ , $B$ とするとき、直線 $AB$ の $y$ 切片を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に楕円 $C : \frac{x ^{2}}{5} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と点 $P (2, t)$ がある。ただし、 $t$ は正の実数とする。 $P$ から $C$ に $2$ 本の接線を引くことができ、その $2$ 本の接線が直交するとき、 $t$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ と焦点が一致し、点 $(3, \frac{16}{5})$ を通る楕円がある。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
極座標 $(r, θ)$ に関する極方程式
$r = 4 cos θ$
で表される曲線を $C$ 、極方程式
$r cos (θ - \frac{π}{3}) = 2$
で表される図形を $ℓ$ とする。 $C$ と $ℓ$ は $2$ 点で交わる。この $2$ 点を結ぶ線分の長さを求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
楕円 $C : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の 2 つの焦点のうち、 $x$ 座標が正のものを $F$ 、負のものを $F^{'}$ とする。また、原点を頂点とし $F$ を焦点とする放物線を $D$ とする。 $C$ と $D$ の共有点のうち $y$ 座標が正であるものを $P$ とするとき、線分 $P F^{'}$ の長さを求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標を考える。極方程式
$r = 6 cos θ$
で表される曲線 $C$ と、極方程式
$r cos (θ - \frac{π}{3}) = 3$
で表される直線 $ℓ$ は 2 点で交わる。この 2 つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a > b > 0$ とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は、双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ と焦点が一致し、さらに点 $(3, \frac{16}{5})$ を通る。このとき、 $a, b$ の値を求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
媒介変数 $θ$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ を用いて
$x = cos θ + sin θ, y = sin θ cos θ$
と表される曲線を $C$ とする。点 $P (x, y)$ が $C$ 上を動くとき、 $x + 2 y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$m$ を実数の定数とする。双曲線 $x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と直線 $y = m x + 1$ の共有点がちょうど $1$ 個であるような $m$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$m$ を実数の定数とする。双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ と直線 $y = m x + 1$ の共有点がちょうど 1 個となるような $m$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
媒介変数 $θ$ を用いて
$x = sin θ + cos θ, y = sin θ cos θ (0 ≦ θ < 2 π)$
と表される曲線を $C$ とする。 $k$ を実数の定数とするとき、直線 $y = x + k$ と曲線 $C$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の 2 つの焦点を $F$ , $F^{'}$ とする。ただし、 $F$ の $x$ 座標は正とする。
$2$ 点 $F$ , $F^{'}$ を焦点とし、漸近線が $2$ 直線 $y = \pm \frac{5}{2} x$ である双曲線を $H$ とする。楕円と双曲線 $H$ の交点のうち、第 1 象限にあるものを $P$ とするとき、 $cos ∠ F P F^{'}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$O$ を極とする極座標において、極方程式
$r = 4 cos θ$
で表される曲線 $C$ と、極方程式
$r cos (θ - \frac{π}{3}) = 2$
で表される直線 $ℓ$ がある。 $C$ と $ℓ$ の 2 つの交点を $A$ , $B$ とするとき、三角形 $O A B$ の面積を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a > 0$ , $b > 0$ とする。双曲線 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点は $F (5, 0)$ , $F^{'} (- 5, 0)$ である。 $C$ 上の第 $1$ 象限にある点 $P$ が $∠ FP F^{'} = 9 0^{\circ}$ を満たし、 $△ PF F^{'}$ の面積は $9$ である。 $C$ の $2$ 本の漸近線のうち、傾きが正であるものの傾きを求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$m$ を実数の定数とする。座標平面上の点 $A (2, 2)$ を通り、傾きが $m$ の直線を $ℓ$ とする。直線 $ℓ$ が双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ のうち $x > 0$ の部分と異なる $2$ 点で交わるような $m$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a > 0$ , $b > 0$ とし、座標平面上の双曲線 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点が $F (5, 0)$ , $F^{'} (- 5, 0)$ であるとする。 $C$ 上の第 1 象限にある点 $P$ が $∠ F^{'} PF = 9 0^{\circ}$ を満たし、さらに $△ PF F^{'}$ の面積が $9$ であるとする。このとき、点 $P$ の座標を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$k$ を正の実数の定数とする。座標平面上の点 $A (0, k)$ から双曲線 $x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1$ に 2 本の接線を引き、その接点を $P$ , $Q$ とする。 $k$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $APQ$ の面積の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、媒介変数 $θ$ を用いて
$x = 4 cos θ, y = 3 sin θ (0 < θ < \frac{π}{2})$
と表される点 $P$ を考える。点 $P$ における楕円 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の接線が $x$ 軸と交わる点を $A$ 、 $y$ 軸と交わる点を $B$ とする。 $θ$ が $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき、線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上の楕円
$C : \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$
の 2 つの焦点のうち、 $x$ 座標が正であるものを $F$ とする。 $C$ 上の点 $P$ は第 $1$ 象限にあるとし、 $P$ における $C$ の接線が 2 直線 $x = 3$ , $x = - 3$ と交わる点をそれぞれ $M$ , $N$ とする。 $P$ が $C$ の第 $1$ 象限の部分を動くとき、三角形 $FMN$ の面積の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = \frac{8}{3 + 2 cos θ}$
で表される曲線を $C$ とする。 $O$ を通り互いに垂直な 2 直線 $ℓ_{1}$ , $ℓ_{2}$ をとり、 $ℓ_{1}$ と $C$ の 2 つの交点を $P$ , $Q$ 、 $ℓ_{2}$ と $C$ の 2 つの交点を $R$ , $S$ とする。 $ℓ_{1}$ , $ℓ_{2}$ が互いに垂直であるという条件を保って動くとき、 $PQ + RS$ の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$m, n$ は整数で、 $1 ≦ m ≦ 1000$ とする。座標平面上の直線 $y = m x + n$ が双曲線 $\frac{x ^{2}}{2} - y^{2} = 1$ とただ 1 つの共有点をもつような整数の組 $(m, n)$ の個数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上に楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : x + y = 5$ がある。点 $P$ が $ℓ$ 上を動くとき、 $P$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $A$ , $B$ とする。三角形 $PAB$ の面積の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と直線 $y = x + k$ が異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わるとする。原点を $O$ とし、3 点 $O$ , $P$ , $Q$ が三角形をなし、かつ $∠ POQ$ が鈍角となるような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上の楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ を考える。 $C$ の外部の点 $P$ から $C$ に 2 本の接線を引き、その接点を $A$ , $B$ とする。点 $P$ は、この 2 本の接線が直交するという条件を満たす点全体を動く。このとき、原点 $O$ と直線 $AB$ の距離の最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$m$ を実数の定数とする。直線 $ℓ : y = m x + 2$ と双曲線 $C : x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ が、 $x$ 座標がともに正である異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わるとする。このとき、線分 $PQ$ の中点の $x$ 座標のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に、放物線 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ と楕円 $C_{2} : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ がある。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線（共通接線）をすべて考え、各共通接線について $C_{1}$ との接点と $C_{2}$ との接点をとる。これらの接点すべてを頂点とする四角形の面積を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : x + y = 3$ がある。 $p$ を実数とし、 $ℓ$ 上の点 $P (p, 3 - p)$ から $C$ に 2 本の接線を引き、その接点を $A$ , $B$ とする。直線 $A B$ は $p$ の値によらず、ある定点を通る。この定点の座標を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を実数の媒介変数とし、座標平面上の曲線 $C$ を
$x = t^{2}, y = \frac{t ^{3}}{3} - t$
で定める。曲線 $C$ はただ 1 つの点 $P$ で自分自身と交わる。 $C$ のうち、 $P$ を出発して再び $P$ に戻るまでの部分（閉じた輪の部分）の長さ $L$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と点 $P (2, 3)$ がある。点 $P$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線と楕円 $C$ とで囲まれた部分の面積を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$x = sin t, y = sin 2 t (0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})$
で定める。曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。 $D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考える。極方程式
$r = \frac{3}{2 + cos θ}$
で表される曲線を $C$ とする。 $O$ を通る互いに垂直な 2 本の直線が、それぞれ $C$ と 2 点 $A$ , $B$ および 2 点 $P$ , $Q$ で交わるとする。2 本の直線の向きが変わるとき、 $AB + PQ$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$m$ を実数の定数とし、点 $A (0, 3)$ を通る直線 $ℓ : y = m x + 3$ を考える。 $ℓ$ は楕円 $C : \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と異なる 2 点 $P$ , $Q$ で交わり、 $AQ = 2 AP$ を満たすとする。原点を $O$ とするとき、三角形 $OPQ$ の面積を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$x = 2 cos t + cos 2 t, y = 2 sin t - sin 2 t (0 ≦ t ≦ 2 π)$
で定める。 $C$ は自分自身と交わらない閉曲線である。 $C$ で囲まれた部分のうち、円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の外部にある部分の面積を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
楕円 $C : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ の焦点のうち、 $x$ 座標が正であるものを $F$ とする。 $C$ 上の $5$ 点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ が、 $F$ のまわりに反時計回りにこの順に並び、 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ∠ P_{3} F P_{4} = ∠ P_{4} F P_{5} = ∠ P_{5} F P_{1} = \frac{2 π}{5}$ を満たしている。このとき $k = 1 \sum 5 \frac{1}{FP _{k}^{2}}$ の値を求めよ。