平面上の曲線の問題

曲線 $C$ 上の点と原点の距離

$C$ 上の点を $\mathrm{P}(x,y)$ とすると
$$x^2+y^2=(2\cos t+\cos 2t{)}^2+(2\sin t-\sin 2t{)}^2=4+1+4(\cos t\cos 2t-\sin t\sin 2t)=5+4\cos 3t$$
である。$-1\leqq \cos 3t\leqq 1$ より、$C$ 上のすべての点について
$$1\leqq x^2+y^2\leqq 9(1)$$
が成り立つ。

$C$ の形（上半分）

$x(2\pi -t)=x(t)$, $y(2\pi -t)=-y(t)$ なので、$C$ は $x$ 軸に関して対称である。$0\leqq t\leqq \pi$ では
$$y=2\sin t-2\sin t\cos t=2\sin t(1-\cos t)\geqq 0$$
であり、等号が成り立つのは $\sin t=0$ または $\cos t=1$、すなわち $t=0,\pi$ のときだけである。よって $0\leqq t\leqq \pi$ の部分が $C$ の上半分であり、$C$ と $x$ 軸の共有点は $t=0$ の点 $(3,0)$ と $t=\pi$ の点 $(-1,0)$ の 2 つだけである。

$$\frac{dx}{dt}=-2\sin t-2\sin 2t=-2\sin t(1+2\cos t)$$
より、$0<t<\frac{2}{3}\pi$ で $\frac{dx}{dt}<0$、$\frac{2}{3}\pi <t<\pi$ で $\frac{dx}{dt}>0$ である。$t=0,\frac{2}{3}\pi ,\pi$ に対応する点はそれぞれ $(3,0)$, $\left(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$, $(-1,0)$ である。

したがって上半分は次の 2 つの弧からなる。
- 外側の弧（$0\leqq t\leqq \frac{2}{3}\pi$）: $x$ は $3$ から $-\frac{3}{2}$ へ単調に減少するので、$-\frac{3}{2}\leqq x\leqq 3$ で定義された関数 $y=f(x)$ のグラフとみなせる。$f(3)=0$ で、$-\frac{3}{2}\leqq x<3$ では $f(x)>0$ である。
- 内側の弧（$\frac{2}{3}\pi \leqq t\leqq \pi$）: $x$ は $-\frac{3}{2}$ から $-1$ へ単調に増加するので、$-\frac{3}{2}\leqq x\leqq -1$ で定義された関数 $y=g(x)$ のグラフとみなせる。$g(-1)=0$ である。

$C$ は自分自身と交わらないので、$-\frac{3}{2}<x\leqq -1$ では 2 つの弧は共有点をもたず、$x=-1$ で $f(-1)>0=g(-1)$ だから $f(x)>g(x)$ である。よって、$C$ で囲まれた部分を $D$ とすると、$D$ のうち $y\geqq 0$ の部分 $D_{+}$ は
$$-\frac{3}{2}\leqq x\leqq -1\text{ では }g(x)\leqq y\leqq f(x),-1\leqq x\leqq 3\text{ では }0\leqq y\leqq f(x)$$
で表される図形であり、$D$ は $D_{+}$ とそれを $x$ 軸に関して折り返した図形を合わせたものである。

円の内部が $D$ に含まれること

$-1\leqq x\leqq 1$ のとき、点 $(x,f(x))$ は $C$ 上の点だから $(1)$ より $x^2+f(x{)}^2\geqq 1$ であり、$f(x)\geqq 0$ なので
$$f(x)\geqq \sqrt{1-x^2}$$
である。したがって、半円板 $x^2+y^2\leqq 1,y\geqq 0$ の点 $(x,y)$ は $-1\leqq x\leqq 1$, $0\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}\leqq f(x)$ を満たすので $D_{+}$ に含まれる。$x$ 軸に関する対称性から下半分の半円板も $D$ に含まれ、円 $x^2+y^2=1$ の周および内部はすべて $D$ に含まれる。

よって、求める面積は（$D$ の面積）$-\pi \cdot 1^2$ である。

$D$ の面積

$D_{+}$ の面積を $S_1$ とすると
$$S_1={\int }_{-\frac{3}{2}}^{3}f(x)dx-{\int }_{-\frac{3}{2}}^{-1}g(x)dx$$
である。外側の弧では $x=3$ が $t=0$、$x=-\frac{3}{2}$ が $t=\frac{2}{3}\pi$ に、内側の弧では $x=-\frac{3}{2}$ が $t=\frac{2}{3}\pi$、$x=-1$ が $t=\pi$ に対応するので
$$S_1={\int }_{\frac{2}{3}\pi }^{0}y\frac{dx}{dt}dt-{\int }_{\frac{2}{3}\pi }^{\pi }y\frac{dx}{dt}dt=-{\int }_0^{\pi }y\frac{dx}{dt}dt$$
となる。ここで
$$y\frac{dx}{dt}=(2\sin t-\sin 2t)(-2\sin t-2\sin 2t)=-4{\sin }^{2}t-2\sin t\sin 2t+2{\sin }^{2}2t$$
であり、
$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt={\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2t}{2}dt=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}2tdt={\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 4t}{2}dt=\frac{\pi }{2},$$
$${\int }_0^{\pi }\sin t\sin 2tdt={\int }_0^{\pi }2{\sin }^{2}t\cos tdt={\left[\frac{2}{3}{\sin }^{3}t\right]}_0^{\pi }=0$$
だから
$$S_1=4\cdot \frac{\pi }{2}+2\cdot 0-2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$$
である。対称性より、$D$ の面積は $2S_1=2\pi$ である。

答え

求める面積は
$$2\pi -\pi =\pi$$

$z=x+iy$ とおくと $z=2e^{it}+e^{-2it}$ である。

(1) 曲線の囲む面積。$S=\frac{1}{2}\oint (xdy-ydx)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{Im}\left(\bar{z}\frac{dz}{dt}\right)dt$。
$\frac{dz}{dt}=2i{e}^{it}-2i{e}^{-2it}$、$\bar{z}=2e^{-it}+e^{2it}$ より
$\bar{z}\frac{dz}{dt}=2i(2e^{-it}+e^{2it})(e^{it}-e^{-2it})=2i(2-2e^{-3it}+e^{3it}-1)=2i(1-2e^{-3it}+e^{3it})$。
虚部は $2\mathrm{Re}(1-2e^{-3it}+e^{3it})=2(1-2\cos 3t+\cos 3t)=2(1-\cos 3t)$。
よって $S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }2(1-\cos 3t)dt={\int }_0^{2\pi }(1-\cos 3t)dt=2\pi$。(t が増える向きに反時計回りで、符号は正。)

(2) 円 $x^2+y^2=1$ との位置関係。$x^2+y^2=|z{|}^2=(2e^{it}+e^{-2it})(2e^{-it}+e^{2it})=4+1+2e^{3it}+2e^{-3it}=5+4\cos 3t$。
これは $1\leqq x^2+y^2\leqq 9$ で、$\cos 3t=-1$ のとき（$t=\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$）に $x^2+y^2=1$ となり、曲線は円と 3 点で接する。それ以外では曲線は円の外側にある。したがって円板 $x^2+y^2\leqq 1$ は $C$ の内部に含まれる。

(3) 求める面積は $2\pi -\pi \cdot 1^2=\pi$。

検算: 曲線は $|z|$ の最大値 3 の 3 点（$t=0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$）を尖点とする内サイクロイド（デルトイド）で、内接円の半径 $r=1$ のとき面積は $2\pi r^2=2\pi$ と知られた値に一致する。